Question

7．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，将△ABC绕着顶点B顺时针旋转∠α得到△EBD（0°≤α≤360°），F，G分别是AB，BE上的点，BF=BG，直线CF与直线DG相交于点H．
（1）如图①，当∠α=60°时，点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置，这时△CBF全等吗？说明理由并且求出此时∠FHG的度数．
（2）如图②，当∠α=120°时，点C，B，E在同一直线上，这时∠FHG的度数有没有发生变化？若有变化，请求出变化后∠FHG的度数；若没有变化，请说明理由．
（3）如图③，在旋转过程中，是否存在CF∥DG的情况？若存在，直接写出此时∠α的度数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由旋转的性质得出∠DBG=∠CBD=60°，BC=BD，由SAS即可得出△CBF≌△DBG；由△CBF≌△DBG得出对应角相等∠CFB=∠DGB，证出∠DGB+∠BFH=180°，再由四边形内角和得出∠FHG+∠FBG=180°，即可求出∠FHG的度数；
（2）由△CBF≌△DBG得出对应角相等∠CFB=∠DGB，证出∠DGB+∠BFH=180°，再由四边形内角和得出∠FHG+∠FBG=180°，即可求出∠FHG的度数；
（3）连接CG、DF，证明四边形CGDF是平行四边形，得出C、B、D共线，即可得出∠α的度数．

解答 解：（1）CBF≌△DBG；理由如下：
根据题意得：∠DBG=∠CBD=60°，BC=BD，
在△CBF和△DBG中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=BD}&{\;}\\{∠CBD=∠DBG}&{\;}\\{BF=BG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CBF≌△DBG（SAS），
∴∠CFB=∠DGB，
∵∠CFB+∠BFH=180°，
∴∠DGB+∠BFH=180°，
在四边形BGHF中，∠FHG+∠FBG=360°-（∠DGB+∠BFH）=180°，
∴∠FHG=180°-∠FBG=120°；

（2）∠FHG的度数发生变化，∠FHG=60°；理由如下：
∵△CBF≌△DBG，
∴∠CFB=∠DGB，
∵∠CFB+∠BFH=180°，
∴∠DGB+∠BFH=180°，
在四边形BGHF中，∠FHG+∠FBG=360°-（∠DGB+∠BFH）=180°，
∴∠FHG═180°-∠FBG=180°-120°=60°；

（3）存在CF∥DG的情况，∠α=180°；
理由如下：连接CG、DF，如图所示：
∵△CBF≌△DBG，
∴CF=DG，
又∵CF∥DG，
∴四边形CGDF是平行四边形，
∵BC=BD，BF=BG，
∴B为平行四边形CGDF对角线的交点，
∴C、B、D三点共线，
∴∠CBD=180°，
即∠α=180°．

点评 本题是几何变换综合题目，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、四边形内角和、平行四边形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要通过作辅助线证明平行四边形和三点共线才能得出结果．