如图(1).在△ABC和△EDC中.AC=CE=CB=CD.∠ACB=∠ECD=90°.边AB与边CE交于F.边ED与边AB.BC分别交于M.H．(1)求证:CF=CH,.△ABC不动.将△EDC从△ABC的位置绕点C顺时针旋转.当旋转角∠BCD=45°时.试判断四边形ACDM是什么四边形?并证明你的结论．(3)当AC=$\sqrt{2}$时.在(2)的条件下.求四� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

10．如图（1），在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD，∠ACB=∠ECD=90°，边AB与边CE交于F，边ED与边AB、BC分别交于M、H．

（1）求证：CF=CH；
（2）如图（2），△ABC不动，将△EDC从△ABC的位置绕点C顺时针旋转，当旋转角∠BCD=45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．
（3）当AC=$\sqrt{2}$时，在（2）的条件下，求四边形ACDM的面积．

分析（1）根据同角的余角相等得出∠ACE=∠DCB，根据等腰直角三角形的性质得出∠A=∠D=45°，进而得出△ACB≌△ECD（ASA），根据全等三角形的性质，即可得出CF=CH；
（2）根据AC∥MD，CD∥AM，即可得出ACDM是平行四边形，再根据AC=CD，即可得到ACDM是菱形；
（3）根据四边形ACDM是菱形，得到CD=AC=$\sqrt{2}$，再根据∠D=45°，∠BCD=45°，即可得出△CDH是等腰直角三角形，进而得到AC边上的高CH=1，最后得出四边形ACDM的面积=1×$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$．

解答解：（1）如图1，在△ACB和△ECD中，
∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACE+∠ECB=∠DCB+∠ECB，
∴∠ACE=∠DCB，
又∵AC=CE=CB=CD，∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠A=∠D=45°，
在△ACB和△ECD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠D}\\{AC=CD}\\{∠ACF=∠DCH}\end{array}\right.$，
∴△ACB≌△ECD（ASA），
∴CF=CH；

（2）四边形ACDM是菱形．
证明：如图2，∠ACB=∠ECD=90°，∠BCD=45°，
∴∠ACE=∠ECB=45°，
又∵∠E=∠B=45°，
∴∠ACE=∠E，∠DCB=∠B，
∴AC∥MD，CD∥AM，
∴ACDM是平行四边形，
又∵AC=CD，
∴ACDM是菱形；

（3）如图2，∵四边形ACDM是菱形，
∴CD=AC=$\sqrt{2}$，
∵∠D=45°，∠BCD=45°，
∴∠CHD=90°，即△CDH是等腰直角三角形，
∴AC边上的高CH=1，
∴四边形ACDM的面积=1×$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$．

点评本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是掌握：一组邻边相等的平行四边形是菱形．

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