Question

19、如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，O为BC边上一点，以O为圆心，OB为半径作半圆与AB边交于点D，连接CD，若CD恰好是⊙O的切线：
（1）求证；△CAD是等腰三角形；
（2）若AC=3，BC=5，求⊙O的半径r．

Answer 1

分析：（1）连接OD，根据切线的性质，∠CDO=90°，所以∠1与∠4互余，又因为△ABC是直角三角形，所以∠2与∠3互余，在圆中半径相等，所以∠1=∠2，从而证得∠3=∠4，所以△CAD是等腰三角形．
（2）利用（1）的结论，知道DC=3，在Rt△CDO中，利用勾股定理，列出方程，即可求出r．

解答：（1）连接OD，则∠1=∠2，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠CDO=90°，
∴∠1与∠4互余，
在Rt△ABC中，∠2与∠3互余，
∴∠3=∠4，
∴AC=CD，
即△CAD为等腰三角形．

（2）由（1）知，AC=CD=3，
又BC=5，所以OC=5-r，
在Rt△CDO中：CD²+OD²=CO²，
即3²+r²=（5-r）²，
解得r=1.6．

点评：本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．