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1.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠CAB=30°,AB=10,点D在线段AB上,AD=2.点P,Q以相同的速度从D点同时出发,点P沿DB方向运动,点Q沿DA方向到点A后立刻以原速返回向点B运动.以PQ为直径构造⊙O,过点P作⊙O的切线交折线AC-CB于点E,将线段EP绕点E顺时针旋转60°得到EF,过F作FG⊥EP于G,当P运动到点B时,Q也停止运动,设DP=m.
(1)当2<m≤8时,AP=,AQ=.(用m的代数式表示)
(2)当线段FG长度达到最大时,求m的值;
(3)在点P,Q整个运动过程中,
①当m为何值时,⊙O与△ABC的一边相切?
②直接写出点F所经过的路径长是.(结果保留根号)

分析 (1)根据题意可得AP=2+m,AQ=m-2.
(2)如图1中,在Rt△EFG中,∠EFG=∠A=30°,∠EGF=90°,推出FG=EF•cos30°=PE•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$EP,所以当点E与点C重合时,PE的值最大,求出此时EP的长即可解决问题.
(3)①分三种情形讨论:当0<t≤2(Q在往A运动)时,如图2中,设⊙O切AC于H,连接OH.当2<t≤8(Q从A向B运动)时,则PQ=(2+m)-(m-2)=4,如图3中,设⊙O切AC于H.连接OH.如图4中,设⊙O切BC于N,连接ON.分别求解即可.
②如图5中,点F的运动轨迹是F1→F2→B.分别求出F1F2,F2B即可解决问题.

解答 解:(1)当2<m≤8时,AP=2+m,AQ=m-2.
故答案为2+m,m-2.

(2)如图1中,

在Rt△EFG中,∵∠EFG=∠A=30°,∠EGF=90°,
∴FG=EF•cos30°=PE•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$EP,
∴当点E与点C重合时,PE的值最大,
易知此时EP=$\frac{AC×BC}{AB}$=$\frac{5\sqrt{3}×5}{10}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$,
∵EP=AP•tan30°=(2+m)•$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴$\frac{5\sqrt{3}}{2}$=(2+m)•$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴m=5.5

(3)①当0<t≤2(Q在往A运动)时,如图2中,设⊙O切AC于H,连接OH.

则有AD=2DH=2,
∴DH=DQ=1,即m=1.
当2<t≤8(Q从A向B运动)时,则PQ=(2+m)-(m-2)=4,
如图3中,设⊙O切AC于H.连接OH.

则AO=2OH=4,AP=4+2=6,
∴2+m=6,
∴m=4.
如图4中,设⊙O切BC于N,连接ON.

在Rt△OBN中,OB=$\frac{ON}{sin60°}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$,
∴AO=10-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$,
∴AP=12-$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$,
∴2+m=12-$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$,
∴m=10-$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$,
综上所述,当m=1或4或10-$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$时,⊙O与△ABC的边相切.

②如图5中,点F的运动轨迹是F1→F2→B.

易知AF1=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,CF2=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$,AC=5$\sqrt{3}$,
∴F1F2=5$\sqrt{3}$-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$=$\frac{11\sqrt{3}}{6}$,
∵∠FEP=60°,∠PEB=30°,
∴∠FEB=90°,
∴tan∠EBF=$\frac{EF}{EB}$=$\frac{EP}{EB}$为定值,
∴点F的第二段的轨迹是线段BF2
在Rt△BF2C中,BF2=$\sqrt{B{C}^{2}+{F}_{2}{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+(\frac{5\sqrt{3}}{2})^{2}}$=$\frac{5}{2}$$\sqrt{7}$,
∴点F的运动路径的长为$\frac{11}{6}$$\sqrt{3}$+$\frac{5}{2}$$\sqrt{7}$.

点评 本题考查圆综合题、直线与圆相切的条件、锐角三角函数、勾股定理、旋转变换等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,学会用方程的思想思考问题,把问题转化为方程解决,属于中考压轴题.

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