Question

1．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=30°，AB=10，点D在线段AB上，AD=2．点P，Q以相同的速度从D点同时出发，点P沿DB方向运动，点Q沿DA方向到点A后立刻以原速返回向点B运动．以PQ为直径构造⊙O，过点P作⊙O的切线交折线AC-CB于点E，将线段EP绕点E顺时针旋转60°得到EF，过F作FG⊥EP于G，当P运动到点B时，Q也停止运动，设DP=m．
（1）当2＜m≤8时，AP=，AQ=．（用m的代数式表示）
（2）当线段FG长度达到最大时，求m的值；
（3）在点P，Q整个运动过程中，
①当m为何值时，⊙O与△ABC的一边相切？
②直接写出点F所经过的路径长是．（结果保留根号）

Answer 1

分析 （1）根据题意可得AP=2+m，AQ=m-2．
（2）如图1中，在Rt△EFG中，∠EFG=∠A=30°，∠EGF=90°，推出FG=EF•cos30°=PE•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$EP，所以当点E与点C重合时，PE的值最大，求出此时EP的长即可解决问题．
（3）①分三种情形讨论：当0＜t≤2（Q在往A运动）时，如图2中，设⊙O切AC于H，连接OH．当2＜t≤8（Q从A向B运动）时，则PQ=（2+m）-（m-2）=4，如图3中，设⊙O切AC于H．连接OH．如图4中，设⊙O切BC于N，连接ON．分别求解即可．
②如图5中，点F的运动轨迹是F₁→F₂→B．分别求出F₁F₂，F₂B即可解决问题．

解答 解：（1）当2＜m≤8时，AP=2+m，AQ=m-2．
故答案为2+m，m-2．

（2）如图1中，

在Rt△EFG中，∵∠EFG=∠A=30°，∠EGF=90°，
∴FG=EF•cos30°=PE•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$EP，
∴当点E与点C重合时，PE的值最大，
易知此时EP=$\frac{AC×BC}{AB}$=$\frac{5\sqrt{3}×5}{10}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∵EP=AP•tan30°=（2+m）•$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{5\sqrt{3}}{2}$=（2+m）•$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴m=5.5

（3）①当0＜t≤2（Q在往A运动）时，如图2中，设⊙O切AC于H，连接OH．

则有AD=2DH=2，
∴DH=DQ=1，即m=1．
当2＜t≤8（Q从A向B运动）时，则PQ=（2+m）-（m-2）=4，
如图3中，设⊙O切AC于H．连接OH．

则AO=2OH=4，AP=4+2=6，
∴2+m=6，
∴m=4．
如图4中，设⊙O切BC于N，连接ON．

在Rt△OBN中，OB=$\frac{ON}{sin60°}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴AO=10-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴AP=12-$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，
∴2+m=12-$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，
∴m=10-$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，
综上所述，当m=1或4或10-$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$时，⊙O与△ABC的边相切．

②如图5中，点F的运动轨迹是F₁→F₂→B．

易知AF₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，CF₂=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，AC=5$\sqrt{3}$，
∴F₁F₂=5$\sqrt{3}$-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$=$\frac{11\sqrt{3}}{6}$，
∵∠FEP=60°，∠PEB=30°，
∴∠FEB=90°，
∴tan∠EBF=$\frac{EF}{EB}$=$\frac{EP}{EB}$为定值，
∴点F的第二段的轨迹是线段BF₂，
在Rt△BF₂C中，BF₂=$\sqrt{B{C}^{2}+{F}_{2}{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+（\frac{5\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$$\sqrt{7}$，
∴点F的运动路径的长为$\frac{11}{6}$$\sqrt{3}$+$\frac{5}{2}$$\sqrt{7}$．

点评 本题考查圆综合题、直线与圆相切的条件、锐角三角函数、勾股定理、旋转变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用方程的思想思考问题，把问题转化为方程解决，属于中考压轴题．