Question

如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，P是弧AD上任一点，CD=20，CM=4．
（1）求弦AB的长；
（2）求证：∠APB=∠COB．

Answer 1

分析：（1）在直角△OBM中，根据勾股定理即可求得BM的长，则AB=2BM，即可求解；
（2）根据同弧所对的圆周角等于同弧所对圆心角的一半即可求解．

解答：解：（1）∵CD是直径，且CD=20，
∴OB=OC=10．
∵AB⊥CD，∴BM=

1

2

AB．
在Rt△BMO中，OM=10-CM=6，OB=10，由勾股定理可得，BM=

102-62

=8，（2分）
∴AB=16．（3分）

（2）连接OA，∵AB⊥CD，
∴弧AC=弧BC．
∴∠AOC=∠BOC=

1

2

∠BOA．（5分）
∵∠APB=

1

2

∠BOA，
∴∠APB=∠BOC．（6分）

点评：此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线．