Question

如图，已知点（1，2）在函数y=（x＞0）的图象上，矩形ABCD的边BC在x正半轴上，E是对角线AC、BD的交点，函数y=（x＞0）的图象又经过A，E两点，点E的纵坐标为m．
（1）求k的值；
（2）求点A的坐标（用m表示）；
（3）是否存在实数m，使四边形ABCD为正方形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵点（1，2）在反比例函数y=上，
∴k=1×2=2，
∴反比例函数的解析式为y=；

（2）过E作EF⊥BC于F，
∵点E是矩形ABCD对角线的交点，
∴AE=CE，
∴EF是△ABC中，EF为其中位线，
∴AB=2EF，
∵点A的纵坐标2m，且点A在反比例函数y=（x＞0）上，
∴A点坐标为（，2m）；

（3）存在．
∵点E在反比例函数y=的图象上，
∴设点E的坐标（，m），
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=2m，BF=m，
∴EF=BF，m=-=，
∴m²=1．
∴m=±1
∵m＞0，
∴m=1．
分析：（1）直接把点（1，2）代入函数y=即可求出k的值，进而得出反比例函数的解析式；
（2）过E作EF⊥BC于F，由三角形中位线定理可得AB=2EF，即点A的纵坐标2m，进而可得可得A点坐标；
（3）设点E的坐标（，m）由EF=BF得，m=- 解可得m的值．
点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、矩形的性质等相关知识，难度适中．