Question

（2013•德惠市二模）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AC，DF⊥BC，AD=3，DB=4，将图1中△ADE绕点D顺时针旋转90°可以得到图2，则图1中△ADE和△BDF面积之和为

6

．

Answer 1

分析：由题意易证得四边形DECF是正方形，则可证得△AED∽△DFB，设DE=CE=CF=DF=x，由相似三角形的对应边成比例，可得BF=

4

3

x，然后由勾股定理求得x的值，即可求得△BDF的面积，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方，△ADE的面积，继而求得答案．

解答：解：如图1，∵在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴四边形DECF是矩形，
由旋转的性质可得：DE=DF，
∴四边形DECF是正方形，
∴AC∥DF，DE∥BC，
∴∠A=∠FDB，∠EDA=∠B，
∴△AED∽△DFB，
∴

DE

BF

=

AD

BD

，
设DE=CE=CF=DF=x，
∴

x

BF

=

3

4

，
∴BF=

4

3

x，
在Rt△BDF中，BD²=DF²+BF²，
∴4²=x²+（

4

3

x）²，
解得：x=

12

5

，
∴DF=

12

5

，BF=

16

5

，
∴S_△BDF=

1

2

DF•BF=

1

2

×

12

5

×

16

5

=

96

25

，
∵S_△BDF：S_△DAE=（

BD

AD

）²=

16

9

，
∴S_△ADE=

54

25

，
∴S_△ADE+S_△BDF=

54

25

+

96

25

=6．
故答案为：6．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．