Question

【题目】如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为边AB上一点，连接CD，在线段CD上取一点E，以AE为直角边作等腰直角△AEF，使∠EAF＝90°，连接BF交CD的延长线于点P．

（1）探索：CE与BF有何数量关系和位置关系？并说明理由；

（2）如图2，若AB＝2，AE＝1，把△AEF绕点A顺时针旋转至△AE'F′，当∠E′AC＝60°时，求BF′的长．

Answer 1

【答案】（1）CE＝BF，CE⊥BF，理由见解析；（2）

【解析】

（1）由“SAS”可证△AEC≌△AFB，可得CE＝BF，∠ABF＝∠ACE，进而可得CE⊥BF；

（2）过点E'作E'H⊥AC，连接E'C，由直角三角形的性质和勾股定理可求E'C的长，由“SAS”可证△F'AB≌△E'AC，可得BF'＝CE'＝．

（1）CE＝BF，CE⊥BF，理由如下：

∵∠BAC＝∠EAF＝90°，

∴∠EAC＝∠FAB，

又∵AE＝AF，AB＝AC，

∴△AEC≌△AFB（SAS）

∴CE＝BF，∠ABF＝∠ACE，

∵∠ADC＝∠BDP，

∴∠BPD＝∠CAD＝90°，

∴CE⊥BF；

（2）过点E'作E'H⊥AC，连接E'C，

∵把△AEF绕点A顺时针旋转至△AE'F′，

∴AF＝AE＝AE'＝AF'＝1，∠BAF'＝∠E'AC＝60°，

∵∠E'AC＝60°，∠AHE'＝90°，

∴∠AE'H＝30°，

∴AH＝AE'＝，E'H＝AH＝，

∴HC＝AC﹣AH＝，

∴E'C＝＝，

∵AF'＝AE'，∠F'AB＝∠E'AC＝60°，AB＝AC，

∴△F'AB≌△E'AC（SAS）

∴BF'＝CE'＝．