如图，已知菱形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，AB=20，AC=32．点P从点A出发，以每秒4个单位的速度沿线段AC向点C运动，同时，点Q从点O出发，以每秒3个单位的速度沿折线OD-DC向点C运动，当点P、Q中有一个点达到终点时，两点同时停止运动．连接BP、PQ、BQ，设点Q的运动时间为t秒．分析 （1）首先根据四边形ABCD是菱形，可得AC⊥BD，AO=OC，OB=OD，利用勾股定理即可求出OD．
（2）情形1：如图1中，当0＜t＜4时，∠BPQ=90°，利用△POB∽△QOP得$\frac{PO}{QO}=\frac{BO}{PO}$列出方程求解；情形2：如图2，当4＜t＜8时，∠BPQ=90°，作QH⊥AC垂足为H，利用∴QHP∽△POB得到$\frac{QH}{PO}=\frac{PH}{OB}$列出方程即可解决．
（3）情形1：如图3，当点P在线段OA上时，⊙P与线段CD相切于M，连接OM，此时⊙P与线段CD只有一个交点，利用△CPM∽△CDO得到$\frac{CP}{CD}=\frac{PM}{DO}$列出方程解决．
情形2：如图4，当PC=PQ时，作PN⊥CD垂足为N，由△CPN∽△CDO得到$\frac{CN}{CO}=\frac{CP}{CD}$列出方程求解．
解答 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OD=OB，AO=CO，
∵AC=32，
∴AO=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×32=16，
在RT△AOD中，∵AD=AB=20，AO=16，
∴OD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{2{0}^{2}-1{6}^{2}}$=12．
（2）能．理由如下：
如图1，当0＜t＜4时，∠BPQ=90°，
∵∠BPO+∠OPQ=90°，∠OPQ+∠PQO=90°，
∴∠BPO=∠PQO，
∵∠POB=∠POQ=90°，
∴△POB∽△QOP，
∴$\frac{PO}{QO}=\frac{BO}{PO}$，
∴$\frac{16-4t}{3t}=\frac{12}{16-4t}$，
t=$\frac{41-3\sqrt{73}}{8}$或（$\frac{41+3\sqrt{73}}{8}$不合题意舍弃）
∴t=$\frac{41-3\sqrt{73}}{8}$．
如图2，当4＜t＜8时，∠BPQ=90°，作QH⊥AC垂足为H，
∵QH∥OD，
∴$\frac{QH}{DO}=\frac{CH}{CO}=\frac{CQ}{CD}$，
∴$\frac{QH}{12}=\frac{CH}{16}=\frac{32-3t}{20}$，
QH=$\frac{3}{5}$（32-3t），CH=$\frac{4}{5}$（32-3t），HP=$\frac{8}{5}$t-$\frac{32}{5}$，OP=4t-16，
∵∠QPH+∠BPO=90°，∠OBP+∠BPO=90°，
∴∠OBP=∠HPQ，
∵∠BOP=∠QHP=90°，
∴△QHP∽△POB，
∴$\frac{QH}{PO}=\frac{PH}{OB}$，
∴$\frac{\frac{3}{5}（32-3t）}{4t-16}=\frac{\frac{8}{5}t-\frac{32}{5}}{12}$，
解得t=$\frac{37+3\sqrt{721}}{16}$或（$\frac{37-3\sqrt{721}}{16}$不合题意舍弃）
综上所述t=$\frac{41-3\sqrt{73}}{8}$或$\frac{37+3\sqrt{721}}{16}$时△PQB是直角三角形．
（3）①如图3，当点P在线段OA上时，⊙P与线段CD相切于M，连接OM，此时⊙P与线段CD只有一个交点，
在RT△POQ中，∵PO=16-4t，OQ=3t，
∴PQ=PM=$\sqrt{（16-4t）^{2}+（3t）^{2}}$，
∵∠PMC=∠DOC=90°，∠PCM=∠DCO，
∴△CPM∽△CDO，
∴$\frac{CP}{CD}=\frac{PM}{DO}$，
∴$\frac{32-4t}{20}=\frac{\sqrt{（16-4t）^{2}+（3t）^{2}}}{12}$，解得t=$\frac{448+720\sqrt{3}}{481}$或（$\frac{448-720\sqrt{3}}{481}$不合题意舍弃）．
②如图4，当PC=PQ时，作PN⊥CD垂足为N，
∵∠PCN=∠DCO，∠PNC=∠DOC=90°，
∴△CPN∽△CDO，
∴$\frac{CN}{CO}=\frac{CP}{CD}$，
∴$\frac{\frac{32-3t}{2}}{16}=\frac{32-4t}{20}$，解得t=$\frac{96}{17}$．
∴$\frac{96}{17}$＜t≤8时⊙P与线段CD只有一个交点．
综上所述t=$\frac{448+720\sqrt{3}}{481}$或$\frac{96}{17}＜t≤8$时⊙P与线段CD只有一个交点．
点评 本题考查菱形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、圆的有关知识，学会分类讨论是解题的关键，解题中培养动手画图能力，利用转化的数学思想去思考问题．
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