[合作学习]如图.矩形ABOD的两边OB.OD都在坐标轴的正半轴上.OD=3.另两边与反比例函数y=kx的图象分别相交于点E.F.且DE=2．过点E作EH⊥x轴于点H.过点F作FG⊥EH于点G．回答下面的问题:①该反比例函数的解析式是什么?②当四边形AEGF为正方形时.点F的坐标是多少?(1)阅读合作学习内容.请解答其中的问题,(2)小亮进一步研究四边形AEGF� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【合作学习】
如图，矩形ABOD的两边OB，OD都在坐标轴的正半轴上，OD=3，另两边与反比例函数y=

（k≠0）的图象分别相交于点E，F，且DE=2．过点E作EH⊥x轴于点H，过点F作FG⊥EH于点G．回答下面的问题：
①该反比例函数的解析式是什么？
②当四边形AEGF为正方形时，点F的坐标是多少？

（1）阅读合作学习内容，请解答其中的问题；
（2）小亮进一步研究四边形AEGF的特征后提出问题：“当AE＞EG时，矩形AEGF与矩形DOHE能否全等？能否相似？”
针对小亮提出的问题，请你判断这两个矩形能否全等？直接写出结论即可；这两个矩形能否相似？若能相似，求出相似比；若不能相似，试说明理由．

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）①先根据矩形的性质得到D（2，3），然后利用反比例函数图象上点的坐标特征计算出k=6，则得到反比例函数解析式为y=

；
②设正方形AEGF的边长为a，则AE=AF=a，根据坐标与图形的关系得到B（2+a，0）），A（2+a，3），所以F点坐标为（2+a，3-a），于是利用反比例函数图象上点的坐标特征得（2+a）（3-a）=6，然后解一元二次方程可确定a的值，从而得到F点坐标；
（2）当AE＞EG时，假设矩形AEGF与矩形DOHE全等，则AE=OD=3，AF=DE=2，则得到F点坐标为（3，3），根据反比例函数图象上点的坐标特征可判断点F（3，3）不在反比例函数y=

的图象上，由此得到矩形AEGF与矩形DOHE不能全等；
当AE＞EG时，若矩形AEGF与矩形DOHE相似，根据相似的性质得AE：OD=AF：DE，即

，设AE=3t，则AF=2t，得到F点坐标为（2+3t，3-2t），
利用反比例函数图象上点的坐标特征得（2+3t）（3-2t）=6，解得t₁=0（舍去），t₂=

，则AE=3t=

，于是得到相似比=

．

解答：

解：（1）①∵四边形ABOD为矩形，EH⊥x轴，
而OD=3，DE=2，
∴E点坐标为（2，3），
∴k=2×3=6，
∴反比例函数解析式为y=

（x＞0）；
②设正方形AEGF的边长为a，则AE=AF=a，
∴B点坐标为（2+a，0）），A点坐标为（2+a，3），
∴F点坐标为（2+a，3-a），
把F（2+a，3-a）代入y=

得（2+a）（3-a）=6，解得a₁=1，a₂=0（舍去），
∴F点坐标为（3，2）；

（2）①当AE＞EG时，矩形AEGF与矩形DOHE不能全等．理由如下：
假设矩形AEGF与矩形DOHE全等，则AE=OD=3，AF=DE=2，
∴A点坐标为（5，3），
∴F点坐标为（3，3），
而3×3=9≠6，
∴F点不在反比例函数y=

的图象上，
∴矩形AEGF与矩形DOHE不能全等；
②当AE＞EG时，矩形AEGF与矩形DOHE能相似．
∵矩形AEGF与矩形DOHE能相似，
∴AE：OD=AF：DE，
∴

，
设AE=3t，则AF=2t，
∴A点坐标为（2+3t，3），
∴F点坐标为（2+3t，3-2t），
把F（2+3t，3-2t）代入y=

得（2+3t）（3-2t）=6，解得t₁=0（舍去），t₂=

，
∴AE=3t=

，
∴相似比=

．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质和图形全等的性质、相似的性质；理解图形与坐标的关系；会解一元二次方程．

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