Question

【题目】已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，连接AD，取AD的中点E，过点A作BC的平行线与CE的延长线交于点F，连接DF．

（1）求证：AF=DC；
（2）请问：AD与CF满足什么条件时，四边形AFDC是矩形，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DCE，

又∵E为AD的中点，

∴AE=DE，

在△AEF和△DEC中， ，

∴△AEF≌△DEC（AAS），

∴AF=DC

（2）解：当AD=CF时，四边形AFDC是矩形；理由如下：

由（1）得：AF=DC且AF∥DC，

∴四边形AFDC是平行四边形，

又∵AD=CF，

∴四边形AFDC是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）

【解析】（1）因为AF∥DC，E为AD的中点，即可根据AAS证明△AEF≌△DEC，得出AF=DC即可；（2）由（1）知，AF=DC且AF∥DC，可得四边形AFDC是平行四边形，又由AD=CF，故可根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判定．