Question

如图所示，已知AB∥CD，分别探索下列四个图形中∠P与∠A，∠C的关系，并对图4的结论加以证明．

结论：（1）

∠APC=∠A+∠C

；
（2）

∠A+∠P+∠C=360°

；
（3）

∠APC=∠C-∠A

；
（4）

∠P=∠A-∠C

．

Answer 1

分析：（1）延长AP交CD于点F，根据两直线平行，内错角相等可以得到∠A=∠PFC，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可得到∠APC=∠A+∠C；
（2）过P作PE∥AB，根据两直线平行，同旁内角互补可以得到∠A+∠1=180°，∠C+∠2=180°，所以∠P+∠A+∠C=360°；
（3）根据两直线平行，内错角相等可以得到∠4=∠C，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可得到∠APC=∠C-∠A；
（4）先根据AB∥CD可得出∠A=∠1，再由三角形外角的性质得出∠1=∠P+∠C，即∠P=∠1-∠C=∠A-∠C，故可得出结论．

解答：结论：（1）∠APC=∠A+∠C；
证明：延长AP交CD于点F，
∵AB∥CD，
∴∠PFC=∠A，
∵∠APC=∠PFC+∠C，
∴∠APC=∠A+∠C；

（2）∠A+∠P+∠C=360°．
证明：如图（2），过P作PE∥AB，则PE∥CD，
∴∠A+∠1=180°，∠C+∠2=180°，
∴∠APC+∠A+∠C=∠1+∠2+∠A+∠C=360°，∠A+∠P+∠C=360°；

（3）∠P=∠C-∠A；
证明：∵AB∥CD，
∴∠3=∠C，
∵∠3=∠APC+∠A，
∴∠APC=∠C-∠A．

（4）∠P=∠A-∠C．
证明：如图（4）所示，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠1，
∵∠1=∠P+∠C，
∴∠P=∠1-∠C=∠A-∠C．

点评：本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，利用平行线的性质求解是解答此题的关键．