Question

12、已知两个自然数的积与和之差恰等于它们的最大公约数与最小公倍数之和，求这样的自然数．

Answer 1

分析：此题设这两个正整数为ma，na（其中m，n，a都是正整数，且m，n互质），然后根据题意可得ma•na-（ma+na）=mna+a，再变形为a=（m+1）（n+1）/（mn），既而假设（1）当m，n其中一个为1时和当m，n都不等于1时两种情况进行分析论证得出答案．

解答：解：设这两个正整数为ma，na（其中m，n，a都是正整数，且m，n互质），
所以ma•na-（ma+na）=mna+a，
所以mna=mn+1+m+n，
所以a=（m+1）（n+1）/（mn），
（1）当m，n其中一个为1时，不妨设m=1，所以a=2（n+1）/n，
因为n不等于1（否则两个数相等，不合），所以n不能被（n+1）整除，所以n能被2整除，
所以n=2，此时这两个数为6和3；
（2）当m，n都不等于1时，因为m不能被（m+1）整除，n不能被（n+1）整除，
所以n被（m+1）整除，m被（n+1）整除，
所以设m+1=pn，n+1=qm，（p，q为正整数），
所以m+1=p（qm-1），
所以m=（p+1）/（pq-1），
当q≥4时，原式没有正整数解，
所以当q=1时，p=2或3，此时两个数为6和4或6和3；
当q=2时，p=1，此时两个数为6和4；
当q=3时，p=1，此时两个数为6和3．
故答案是：这样的自然数是6和3或6和4．

点评：此题主要考查了学生对最大公约数与最小公倍数之和的理解和掌握．要求学生能正确运用其解答问题．此题较难，是好题．