Question

如图，过线段AB的两个端点作射线AM、BN，使AM∥BN，按下列要求画图并回答：
（1）画∠MAB、∠NBA的平分线交于E，∠AEB是什么角？
（2）过点E作一直线交AM于D，交BN于C，观察线段DE、CE，你有何发现？
（3）无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，AD+BC的值是否有变化？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由两直线平行同旁内角互补，及角平分线的性质不难得出∠1+∠3=90°，再由三角形内角和等于180°，即可得出∠AEB是直角的结论；
（2）过E点作辅助线EF使其平行于AM，由平行线的性质可得出各角之间的关系，进一步求出边之间的关系；
（3）由（2）中得出的结论可知EF为梯形ABCD的中位线，可知无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，AD+BC的值总为一定值．

解答：解：（1）∵AM∥BN，
∴∠MAB+∠ABN=180°，
又AE，BE分别为∠MAB、∠NBA的平分线，
∴∠1+∠3=

1

2

（∠MAB+∠ABN）=90°，
∴∠AEB=180°-∠1-∠3=90°，
即∠AEB为直角；

（2）过E点作辅助线EF使其平行于AM，
∵AM∥BN，EF∥BC，
∴EF∥AD∥BC，
∴∠AEF=∠4，∠BEF=∠2，
∵∠3=∠4，∠1=∠2，
∴∠AEF=∠3，∠BEF=∠1，
∴AF=FE=FB，
∴F为AB的中点，又EF∥AD∥BC，
根据平行线等分线段定理得到E为DC中点，
∴ED=EC；

（3）由（2）中结论可知，无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，
总满足EF为梯形ABCD中位线的条件，所以总有AD+BC=2EF=AB．

点评：本题是计算与作图相结合的探索．对学生运用作图工具的能力，以及运用直角三角形、等腰三角形性质，三角形内角和定理，及梯形中位线等基础知识解决问题的能力都有较高的要求．