Question

已知：在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的左侧作等腰直角△ADE，解答下列各题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°．
（i）当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图甲，线段BD，CE之间的位置关系为______
（ii）当点D在线段BC的延长线上时，如图乙，i）中的结论是否还成立？为什么？

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．
试探究：当△ABC满足一个什么条件时，BC⊥CE（点D不与点C，B重合）？试画出相应图形，写出你的探究结果（不用证明）．

Answer 1

解：（1）（i）垂直（或BD⊥CE）；
（ii）（i）中的结论是否仍然成立，
理由如下：连接EC，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，∠B=∠ACE，
∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠ACB=∠BCE=90°，
即BD⊥CE；

（2）如右图所示，
当△ABC满足∠ACB=45°时，BC⊥CE．
分析：（1）（i）垂直（或BD⊥CE），相等（或BD=CE）；
（ii）（i）中的结论是否仍然成立．由于∠BAC=∠DAE=90°，利用等式性质可得∠BAD=∠CAE，而AB=AC，AD=AE，利用SAS可证△ABD≌△ACE，那么BD=CE，∠B=∠ACE，又知∠B+∠ACB=90°，从而易得∠ACE+∠ACB=∠BCE=90°，即BD⊥CE；
（2）画出和图甲或图乙相似的图即可．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明△ABD≌△ACE．