Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，点E为CD边的中点，连接AE并延长与BC的延长线交于点F，过点E作EM⊥AF交BC于点M，连接AM与BD交于点N，现有下列结论：①AM＝MF；②ME2＝MCAM；③＝（sin∠DAE）2；④点N是四边形ABME的外接圆的圆心，其中正确结论的序号是_____．

Answer 1

【答案】①②．

【解析】

①正确．利用全等三角形的性质证明AE＝EF即可解决问题．

②正确．证明△MEC∽△MFE即可解决问题．

③错误．证明△ADE∽△ECM，可得＝（）2＝（）2＝（tan∠DAE）2．

④错误．说明点N不是线段AM的中点，即可判断．

解：∵四边形ABC都是正方形，

∴AD∥BF，

∴∠DAE＝∠F，

∵∠AED＝∠FEC，DE＝EC，

∴△ADE≌△FCE（AAS），

∴AE＝EF，

∵ME⊥AF，

∴MA＝NF，故①正确，

∵∠EMC＝∠EMF，∠ECM＝∠MEF，

∴△MEC∽△MFE，

∴ME：MF＝MC：ME，

∴ME2＝MCMF＝MCAM，故②正确，

∵∠AEM＝90°，∠ADE＝∠ECM＝90°，

∴∠AED+∠MEC＝90°，∠MEC+∠EMC＝90°，

∴∠AED＝∠EMC，

∴△ADE∽△ECM，

∴＝（）2＝（）2＝（tan∠DAE）2，故③错误，

∵∠ABM＝∠AEM＝90°，

∴A，B，M，E四点共圆，

∴四边形的外接圆的圆心是线段AM的中点，显然点N不是AM的中点，故④错误．

故答案为①②．