Question

26、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知∵，G为CH的中点．
（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；
（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．

Answer 1

分析：（1）熟记全等三角形的判定定理，根据题目所给的条件能够证明∠AED=∠CGF，EH=GC，且是直角三角形，可根据AAS证明其全等．
（2）根据角平分线上的点到两边的距离相等，可证明AD=DF，DF=DC-FC，可求出其结果．

解答：（1）证明：∵HE=HG，
∴∠HEG=∠HGE，
∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，
∴∠BEH=∠FGC，
∵G是HC的中点，
∴HG=GC，
∴HE=GC，
∵∠HBE=∠CFG=90°．
∴△EBH≌△GFC；

（2）解：∵ED平分∠AEF，∠A=∠DFE=90°，
∴AD=DF，
∵DF=DC-FC，
∵FC=BH=1，
∴AD=4-1=3．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，以及直角梯形的性质等．