Question

13．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC（或它们的延长线）于E、F．

（1）当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），求证：AE+CF=EF；
（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在 图2和 图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

Answer 1

分析 （1）如图1中，根据△ABE≌△CBF可证△BEF是等边三角形，即可解题；
（2）①如图2中，结论仍然成立．证明△EBF≌△KBF，即可得EF=CK+CF，可证AE+CF=EF；
③如图3中，结论不成立，猜想猜想AE-CF=EF．在DC的延长线上取点K，使CK=AE，连接BK证明△EBF≌△KBF，即可得AE-CF=EF．

解答 解：（1）如图1中，

在△ABE和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠A=∠BCF}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBF（SAS）．
∴BE=BF，∴∠ABE=∠CBF=$\frac{1}{2}$（∠ABC-∠MBN）=$\frac{1}{2}$（120°-60°）=30°．
∴AE=$\frac{1}{2}$BE，CF=$\frac{1}{2}$BF，
△BEF是等边三角形．
∴BE=BF=EF．
∴AE+CF=$\frac{1}{2}$BE+$\frac{1}{2}$BF=EF；

（2）①如图2中，结论仍然成立．理由如下：
延长DC至K点使得CK=AE，

在△ABE和△CBK中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠A=∠BCK}\\{AE=CK}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBK（SAS）．
∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，
∵∠ABE+∠CBE=120°，
∴∠KBC+∠CBE=120°，
即∠KBE=120°，
∵∠EBF=60°，
∴∠KBF=∠EBF=60°．
在△EBF和△KBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BK=BE}\\{∠KBF=∠EBF}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△EBF≌△KBF（SAS）．
∴EF=KF．
∴EF=CK+CF．
∴AE+CF=EF；

③如图3，结论不成立．猜想AE-CF=EF，理由如下：
证明如下：在DC的延长线上取点K，使CK=AE，连接BK．

在△ABE和△CBK中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠A=∠BCK}\\{AE=CK}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBK（SAS）．
∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，
∵∠ABE+∠CBE=120°，
∴∠KBC+∠CBE=120°，
即∠KBE=120°．
∵∠EBF=60°，
∴∠KBF=∠EBF=60°．
在△EBF和△KBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BK}\\{∠KBF=∠EBF}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△EBF≌△KBF（SAS），
∴EF=KF，
∴EF=CK-CF．
∴AE-CF=EF．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．