Question

对于x的二次三项式ax²+bx+c（a＞0）．
（1）当c＜0时，求函数y=-2|ax²+bx+c|-1的最大值；
（2）若不论k为任何实数，直线y=k(x-1)-

k2

4

与抛物线y=ax²+bx+c有且只有一个公共点，求a，b，c的值．

Answer 1

分析：（1）首先设y₁=ax²+bx+c，由a＞0，c＜0，可得△＞0，即可得|ax²+bx+c|≥0，继而求得函数y=-2|ax²+bx+c|-1的最大值；
（2）由直线y=k（x-1）-

k2

4

与抛物线y=ax²+bx+c有且只有一个公共点，可得ax²+（b-k）x+

k2

4

+k+c=0有相等的实数解，可得判别式△=0，又由不论k为任何实数，直线y=k(x-1)-

k2

4

与抛物线y=ax²+bx+c有且只有一个公共点，即可得方程组

1-a=0 -2(2a+b)=0 b2-4ac=0

，继而求得a，b，c的值．

解答：解：（1）设，y₁=ax²+bx+c，
∵a＞0，c＜0，
∴△=b²-4ac＞0，
∴y₁=ax²+bx+c与x轴有两个交点，
∴|ax²+bx+c|的最小值为0，
∴y=-2|ax²+bx+c|-1的最大值是-1．

（2）∵直线y=k（x-1）-

k2

4

与抛物线y=ax²+bx+c有且只有一个公共点，
∴方程组：

y=k(x-1)- k2 4 y=ax2+bx+c

只有一组解，
∴ax²+（b-k）x+

k2

4

+k+c=0有相等的实数解，
∴△=0，
∴（1-a）k²-2（2a+b）k+b²-4ac=0
∵对于k为任何实数，上式恒成立，
∴

1-a=0 -2(2a+b)=0 b2-4ac=0

，
∴a=1，b=-2，c=1．

点评：此题考查了二次函数的性质、一元二次方程根的情况、判别式的知识以及方程组的解法等知识．此题综合性较强，难度较大，注意把函数交点问题转化成一元二次方程根的问题是解此题的关键．