Question

如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为________．

Answer 1

10.5
分析：由点E、F分别是AC、BC的中点，根据三角形中位线定理得出EF=AB=3.5为定值，则GE+FH=GH-EF=GH-3.5，所以当GH取最大值时，GE+FH有最大值．而直径是圆中最长的弦，故当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值14-3.5=10.5．
解答：如图，当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值．
∵⊙O的半径为7，
∴GH=14．
∵点E、F分别是AC、BC的中点，
∴EF=AB=3.5，
∴GE+FH=GH-EF=14-3.5=10.5．
故答案为10.5．
点评：本题结合动点考查了圆周角定理，三角形中位线定理，有一定难度．确定GH的位置是解题的关键．