Question

7．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2$\sqrt{2}$，CM⊥AB，垂足为M，点D在边AB上，连接CD，过点C作CE⊥CD，且CE=CD，连接DE、BE．
（1）求CM的长；
（2）求证：BE⊥AB；
（3）若BE=1，直接写出线段CD的长度．

Answer 1

分析 （1）先求出AB，再根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题．
（2）只要证明△ACD≌△BCE，推出∠CBE=∠CAD=45°，由∠ABC=45°，即可推出∠EBD=90°．
（3）在Rt△CDM中，求出DM、CM即可解决问题．

解答 （1）解：∵ACB=90°，AC=BC=2$\sqrt{2}$，CM⊥AB，
∴AM=BM，AB=$\sqrt{2}$AC=4，
∴CM=AM=BM=2．

（2）证明：∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠CBE=∠CAD=45°，∵∠ABC=45°，
∴∠EBD=90°，
∴EB⊥AB．

（3）解：∵△ACD≌△BCE，
∴AD=BE=1，
∵AM=CM=2，
∴DM=1，
在Rt△CDM中，CD=$\sqrt{C{M}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．