Question

2£®Èçͼ1£¬ÔÚRt¡÷ABCÖУ¬¡ÏC=90¡ã£¬AC=2BC£¬µãE´ÓAµã³ö·¢£¬ÑØÕÛÏßAB-BCÔ˶¯£¬µ½µãCÍ£Ö¹£¬µãEÔÚABÉÏÒÔ$\sqrt{5}$cm/sµÄËÙ¶ÈÔ˶¯£¬ÔÚBCÉÏÒÔ1cm/sµÄËÙ¶ÈÔ˶¯£»µ±µãE²»ÓëµãAÖغÏʱ£¬¹ýµãE×öEF¡ÍACÓÚµãF£¬ÒÔEFΪ±ß×÷Õý·½ÐÎEFGH£¬Ê¹µãGÂäÔÚÏ߶ÎAFÉÏ£®ÉèEµãµÄÔ˶¯Ê±¼äΪx£¨s£©£¬Õý·½ÐÎEFGHÓë¡÷ABCÖغϲ¿·ÖµÄÃæ»ýΪy£¨cm²£©£¬yÓëxµÄº¯ÊýͼÏóÈçͼ2Ëùʾ£®£¨0£¼x¡Üm£¬m¡Üx¡Ü$\frac{16}{3}$£¬$\frac{16}{3}$¡Üx£¼nÈý¶ÎµÄº¯Êý½âÎöʽ²»Í¬£©£®
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Answer 1

·ÖÎö £¨1£©ÏÈÈ·¶¨Í¼ÏóÖÐmºÍ$\frac{16}{3}$ʱ£¬µãEµÄλÖ㺢ٵ±EÔ˶¯µ½Bʱ£¬x=m£¬¢Úµ±HÔÚABÉÏʱ£¬x=$\frac{16}{3}$£¬Èçͼ1£¬´Óͼ1ÈëÊÖ£¬ÀûÓÃÈý½ÇÐÎÏàËÆÁбÈÀýʽ¿ÉµÃaÓëbµÄ¹Øϵ£¬¸ù¾Ý¡°µ±HÔÚABÉÏʱ£¬x=$\frac{16}{3}$¡±ÁÐʽ¿ÉµÃaµÄÖµ£¬´Ó¶øµÃABµÄÖµ£¬¸ù¾Ý·³Ì³ýÒÔËٶȿɵÃʱ¼ämµÄÖµ£»
£¨2£©¢Ùµ±0¡Üx¡Ü4ʱ£¬¼´µãEÔÚABÉÏʱ£¬Èçͼ2£¬¢Úµ±4£¼x¡Ü$\frac{16}{3}$ʱ£¬EÔÚBCÉÏ£¬FÓëCÖغϣ¬Èçͼ3£¬¢Ûµ±$\frac{16}{3}$£¼x¡Ü8ʱ£¬EÔÚBCÉÏ£¬Èçͼ4£¬·Ö±ð¼ÆËãÕý·½ÐÎEFGHÓë¡÷ABCÖغϲ¿·ÖµÄÃæ»ý¼´¿É£®

½â´ð ½â£º£¨1£©µ±EÔ˶¯µ½Bʱ£¬x=m£¬
µ±HÔÚABÉÏʱ£¬x=$\frac{16}{3}$£¬Èçͼ1£¬
ÉèBC=a£¬Õý·½ÐÎEFGHµÄ±ß³¤Îªb£¬ÔòAC=2a£¬
¡ßHE¡ÎAC£¬
¡à¡÷BHE¡×¡÷BAC£¬
¡à$\frac{HE}{AC}=\frac{BE}{BC}$£¬
¡à$\frac{HE}{2a}=\frac{a-b}{a}$£¬
¡àHE=b=2£¨a-b£©£¬
¡àb=$\frac{2}{3}a$£¬
¡àBE=$\frac{1}{3}$a£¬
Óɹ´¹É¶¨ÀíµÃ£ºAB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{£¨2a£©^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{5}$a£¬
µ±HÔÚABÉÏʱ£¬EÔÚBCÉÏ£¬Ôò$\frac{\sqrt{5}a}{\sqrt{5}}$+$\frac{\frac{1}{3}a}{1}$=$\frac{16}{3}$£¬
a=4£¬
¡àAB=4$\sqrt{5}$£¬
¡àm=$\frac{4\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$=4£»
£¨2£©¢Ùµ±0¡Üx¡Ü4ʱ£¬¼´µãEÔÚABÉÏʱ£¬Èçͼ2£¬
AE=$\sqrt{5}$x£¬
sin¡ÏA=$\frac{BC}{AB}=\frac{EF}{AE}$£¬
¡à$\frac{a}{2a}=\frac{EF}{\sqrt{5}x}$£¬
¡àEF=x£¬
¡àAF=2x£¬
¡àAG=AF-FG=2x-x=x£¬
¡àDG=$\frac{1}{2}$x£¬
¡ày=S_{Õý·½ÐÎEFGH}-S_¡÷DHE=x²-$\frac{1}{2}$$•\frac{1}{2}x•x$=$\frac{3}{4}{x}^{2}$£»
¢Úµ±4£¼x¡Ü$\frac{16}{3}$ʱ£¬EÔÚBCÉÏ£¬FÓëCÖغϣ¬Èçͼ3£¬
BE=x-4£¬
¡àPE=2BE=2£¨x-4£©£¬
EC=4-£¨x-4£©=8-x£¬
¡àAG=AC-CG=8-£¨8-x£©=x£¬
¡àDG=$\frac{1}{2}$x£¬
¡àDH=EC-DG=8-x-$\frac{1}{2}$x=8-$\frac{3}{2}$x£¬
PH=EC-PE=8-x-2£¨x-4£©=16-3x£¬
¡ày=S_{Õý·½ÐÎEFGH}-S_¡÷DHP=£¨8-x£©²-$\frac{1}{2}$$£¨8-\frac{3}{2}x£©£¨16-3x£©$=-$\frac{5}{4}{x}^{2}+8x$£»
¢Ûµ±$\frac{16}{3}$£¼x¡Ü8ʱ£¬EÔÚBCÉÏ£¬Èçͼ4£¬
EC=8-x£¬
¡ày=S_{Õý·½ÐÎEFGH}=£¨8-x£©²=x²-16x+64£»
×ÛÉÏËùÊö£¬yÓëxµÄº¯Êý¹ØϵʽΪ£ºy=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{4}{x}^{2}£¨0£¼x¡Ü4£©}\\{-\frac{5}{4}{x}^{2}+8x£¨4¡Üx¡Ü\frac{16}{3}£©}\\{{x}^{2}-16x+64£¨\frac{16}{3}¡Üx¡Ü8£©}\end{array}\right.$£®

µãÆÀ ±¾Ì⿼²éÁ˶¯µãÎÊÌâµÄͼÏóÎÊÌ⣬´ËÀàÎÊÌâ½ÏÄÑ£¬Àí½âͼÐÎÓëͼÏóµÄ¹ØϵÊǹؼü£¬µÚ¶þÎʼÆËãÕý·½ÐÎEFGHÓë¡÷ABCÖغϲ¿·ÖµÄÃæ»ýʱ£¬×¢Òâ·ÖÀàÌÖÂÛ£¬»­³öͼÐÎÊǹؼü£®