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11.已知二次函数f(x)的最大值为8且满足f(-1)=f(2)=-1,则此二次函数的解析式f(x)=-4x2+4x+7.

分析 先利用对称性得到抛物线的对称轴为直线x=$\frac{1}{2}$,则抛物线的顶点坐标为($\frac{1}{2}$,8),于是可设顶点式y=a(x-$\frac{1}{2}$)2+8,然后把(-1,-1)代入求出a的值即可.

解答 解:∵f(-1)=f(2)=-1,
∴抛物线经过点(-1,-1),(2,-1),
∴抛物线的对称轴为直线x=$\frac{1}{2}$,
∴抛物线的顶点坐标为($\frac{1}{2}$,8),
设抛物线的解析式为y=a(x-$\frac{1}{2}$)2+8,
把(-1,-1)代入得a•(-1-$\frac{1}{2}$)2+8=-1,解得a=-4,
∴抛物线的解析式为y=-4(x-$\frac{1}{2}$)2+8,
即y=-4x2+4x+7.
故答案为-4x2+4x+7.

点评 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式:在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与x轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解.

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