Question

【题目】如图，在Rt△OAB中，∠A=90°，OA=4，AB=3，动点M从点A出发，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．设运动时间为t秒．

（1）用含t的代数式表示点N到OA的距离；

（2）设△OMN的面积是S，求S与t之间的函数表达式；当t为何值时，S有最大值？最大值是多少？

（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1点N到OA的距离为；（2）S=-，当t=2时，S有最大值，最大值为S=．（3） t=2或t=时，△OMN是直角三角形

【解析】

试题分析：（1）由勾股定理计算出OB，再用三角函数即可；

（2）得到S与t的函数关系，从而确定出面积最大值；

（3）要使△OMN是直角三角形，一个直角三角形和它相似，即可；

试题解析：（1）在Rt△OAB中，OB==5，

∴点N到OA的距离为ON×sin∠O=；

（2）S=（4-t）× =-，

当t=-=2时，S有最大值，

最大值为S=-×22+×2=．

（3）∵△ABO为直角三角形，

∴以M、N、O为顶点的三角形和△ABO相似；

当△OMN∽△OAB时，

∴，

∴，

∴t=2，

当△OMN∽△OBA时，

∴，

∴，

∴t=，

∴t=2或t=时，△OMN是直角三角形