Question

9．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=8cm，AD=6cm，BC=10cm．点P从点B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF从CD出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，且EF与BD交于点Q，连接PE、PF．当点P与点Q相遇时，所有运动停止．若设运动时间为t（s）．
（1）求CD的长度；
（2）当PE∥AB时，求t的值；
（3）①设△PEF的面积为S，求S关于t的函数关系式；
②如图2，当△PEF的外接圆圆心O恰好在EF中点时，则t的值为$\frac{5}{2}$（请直接写出答案）

Answer 1

分析 （1）如图1，过点D作DM⊥BC，交BC于点M．构建矩形ABMD和直角△CMD，所以由矩形的性质和勾股定理来求CD的长度；
（2）当PE∥AB时，△AEP∽△ADC，可用t表示出DP、DE的长，进而由相似三角形得到的比例线段求得t的值；
（3）①如图2，过点B作BH⊥CD，交CD于点H，过点P作PG⊥EF，交于点G，利用相似三角形△QPG∽△DBH的对应边成比例求得PG的长度，依题意得到EF=CD，所以根据三角形的面积公式可得到S、t的函数关系式；
②如图3，过点P作MN∥AB，则PM⊥AD，PN⊥BC，易证△PEF是等腰直角三角形．通过相似可得PM、PN、ME、NF的长度，然后利用勾股定理得到：PF²=MP²+ME²，PF²=PN²+NF²，则PE²+PF²=EF²，由此可以得到t的值．

解答 解：（1）如图1，过点D作DM⊥BC，交BC于点M．
∵AD∥BC，∠A=90°
∴DM=AB=8cm，BM=AD=6cm
∴CM=4cm，
∴CD=$\sqrt{C{M}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$cm；

（2）由题意可求BD=10cm，BP=t，
∴DP=10-t，DE=t，
∵PE∥AB，
∴△DPE∽△DBA
∴$\frac{DP}{BD}$=$\frac{DE}{DA}$ 即$\frac{10-t}{10}$=$\frac{t}{6}$，
解得t=$\frac{15}{4}$；

（3）①如图2，过点B作BH⊥CD，交CD于点H，过点P作PG⊥EF，交于点G，
∵BD=BC=10cm，CD=4$\sqrt{5}$cm，
∴DH=2$\sqrt{5}$cm，
∴BH=$\sqrt{B{D}^{2}-D{H}^{2}}$=4$\sqrt{5}$cm．
∵EF∥CD，易证，EF=CD=4$\sqrt{5}$，DQ=DE=t，
∴QP=BD-BP-DQ=10-2t，
可证△QPG∽△DBH，
∴$\frac{QP}{BD}$=$\frac{PG}{BH}$即$\frac{10-2t}{10}$=$\frac{PG}{4\sqrt{5}}$，
∴PG=4$\sqrt{5}$-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$t，
S=$\frac{1}{2}$×EF×PG=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{5}$×（4$\sqrt{5}$-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$t）=40-8t（其它解法参照给分）．
②t=$\frac{5}{2}$
解答如下：如图3，过点P作MN∥AB，则PM⊥AD，PN⊥BC，
由题意可知∠EPF=90°，
通过相似可得PM=8-$\frac{4}{5}$t，PN=$\frac{4}{5}$t，ME=6-$\frac{8}{5}$t，NF=10-$\frac{8}{5}$t．
PF²=MP²+ME²=（8-$\frac{4}{5}$t）²+（6-$\frac{8}{5}$t）²，PF²=PN²+NF²=（$\frac{4}{5}$t）²+（10-$\frac{8}{5}$t）²，
由PE²+PF²=EF²．
可解得t₁=$\frac{5}{2}$，t₂=$\frac{15}{2}$（舍去）（也可用相似法）．

点评 此题考查了直角梯形的性质、勾股定理、圆周角定理、等腰三角形和相似三角形的判定和性质等知识的综合应用能力．