Question

如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=105°点D是△ABC外一点，连接DO，DA，DC，OC=OD，∠COD=60°，
（1）求证：△BOC≌△ADC；
（2）当∠BOC=150°试判断△AOD的形状，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用等边三角形的性质得出OC=DC，∠COD=∠CDO=60°，进而得出∠OCB=∠DCA，利用SAS得出△BOC≌△ADC；
（2）利用全等三角形的性质以及等边三角形的性质得出∠ADO=90°，进而得出OD=AD，即可得出答案．

解答：（1）证明：∵OC=OD，∠OCD=60°
∴△OCD是等边三角形．                       
∴OC=DC，∠COD=∠CDO=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°，
∴∠OCB=∠DCA，
在△BOC和△ADC中

BC=CA ∠BCO=∠DCA CO=CD

，
∴△BOC≌△ADC（SAS）；
                              
（2）解：△AOD是等腰直角三角形．                 
理由：∵∠AOB=105°，∠BOC=150°，∠COD=60°，
∴∠AOD=45°，
∵△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=150°，
∴∠ADO=90°，
∴∠OAD=45°，
∴OD=AD，
∴△AOD是等腰直角三角形．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质等知识，熟练根据全等三角形的判定得出△BOC≌△ADC是解题关键．