Question

1．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A、B（2，0），与直线AC：y=-x-6交y轴于点C，点D是抛物线的顶点．
（1）求出抛物线的解析式及D点的坐标；
（2）判断△ACD的形状，并求tan∠ADC的值；
（3）直线AD交y轴于点F，在线段AD上存在点P，使∠ADC=∠PCF，请求出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、C点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；
（2）根据勾股定理及逆定理，可得三角形的形状，根据正切值等对边比邻边，可得答案；
（3）根据待定系数法，可得AD的解析式，根据等式的性质，可得∠DFC=∠PCD，根据相似三角形的判定与性质，可得关于x的方程，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．

解答 解：（1）直线AC：y=-x-6，
当x=0时，y=-6，即C（0，-6）．
当y=0时，x=-6，即A（-6，0）．
∵B（2，0），
把A、B、C三点坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{36a-6b+c=0}\\{4a+2b+c=0}\\{c=-6}\end{array}\right.$，解得
$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=2}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²+2x-6=$\frac{1}{2}$（x+2）²-8，
顶点D的坐标为（-2，-8）；
（2）△ACD是直角三角形，理由如下：
∵A（6，0），C（0，-6），D（-2，-8），
∴由勾股定理，得AC²=6²+6²=72，CD²=2²+（-8+6）²=8，AD²=（-2+6）²+8²=80，
∴AC²+CD²=AD²，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°
∴tan∠ADC=$\frac{AC}{CD}$=$\frac{6\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$=3；
（3）设直线AD的解析式为y=mx+n．
∵A（-6，0），D（-2，-8），
$\left\{\begin{array}{l}{-6m+n=0}\\{-2m+n=-8}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=-12}\end{array}\right.$，
∴直线AD的解析式为y=-2x-12．
当x=0时，y=-12，即F（0，-12），
设点P的坐标为（x，-2x-12）．
∵∠ADC=∠DCF+∠DFC，∠PCF=∠DCF+∠PCD，∠ADC=∠PCF，
∴∠DFC=∠PCD，
在△CPD和△FPC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PCD=∠PFC}\\{∠CPD=∠FPC}\end{array}\right.$，
∴△CPD∽△FPC，
∴$\frac{CP}{FP}$=$\frac{CD}{FC}$，
∴$\frac{{x}^{2}+（-2x-12+6）^{2}}{{x}^{2}+（2x）^{2}}$=$\frac{8}{{6}^{2}}$，化简，得
35x²+216x+324=0，
解得x₁=-$\frac{18}{7}$，x₂=-$\frac{18}{5}$（舍去）．
当x=-$\frac{18}{7}$时，-2x-12=-2×（-$\frac{18}{7}$）-12=-$\frac{48}{7}$，
∴点P的坐标（-$\frac{18}{7}$，-$\frac{48}{7}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数是求函数解析式得关键；（2）利用勾股定理及逆定理是解题关键；（3）利用相似三角形的判定与性质得出关于x的方程是解题关键．