请阅读下列材料.并完成相应的任务:阿基米德折弦定理阿基米德(archimedes.公元前287-公元前212年.古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一.他与牛顿.高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al-Binmi的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容.苏联在1964年根据Al-Binmi译本出版了俄文版.第一题就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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16．请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿基米德折弦定理
阿基米德（archimedes，公元前287-公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．
阿拉伯Al-Binmi（973-1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是$\widehat{ABC}$的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是$\widehat{ABC}$的中点，
∴MA=MC．
…
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图3，已知等边△ABC内接于⊙O，AB=2，D为$\widehat{AC}$上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD于点E，则△BDC的周长是2+2$\sqrt{2}$．

分析（1）首先证明△MBA≌△MGC（SAS），进而得出MB=MG，再利用等腰三角形的性质得出BD=GD，即可得出答案；
（2）首先证明△ABF≌ACD（SAS），进而得出AF=AD，以及CD+DE=BE，进而求出DE的长即可得出答案．

解答（1）证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是$\widehat{ABC}$的中点，
∴MA=MC．
在△MBA和△MGC中
∵$\left\{\begin{array}{l}{BA=GC}\\{∠A=∠C}\\{MA=MC}\end{array}\right.$，
∴△MBA≌△MGC（SAS），
∴MB=MG，
又∵MD⊥BC，
∴BD=GD，
∴DC=GC+GD=AB+BD；

（2）解：如图3，截取BF=CD，连接AF，AD，CD，
由题意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD，
在△ABF和△ACD中
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABF=∠ACD}\\{BF=DC}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌ACD（SAS），
∴AF=AD，
∵AE⊥BD，
∴FE=DE，则CD+DE=BE，
∵∠ABD=45°，
∴BE=$\frac{AB}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
则△BDC的周长是2+2$\sqrt{2}$．
故答案为：2+2$\sqrt{2}$．

点评此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键．

练习册系列答案

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