Question

4．如图，菱形OABC的边OC在x轴正半轴上，点B的坐标为（8，4）．
（1）请求出菱形的边长；
（2）若反比例函数y=$\frac{k}{x}$经过菱形对角线的交点D，且与边BC交于点E，请求出点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）过B作BM⊥x轴于点M，根据B的坐标求出BM=4，在Rt△BCM中，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可；
（2）求出反比例函数解析式，求出直线BC，求出直线BC和反比例函数的交点坐标，即可得出答案．

解答 解：（1）如图，BM⊥x轴于点M，
∵点B的坐标为（8，4），OC=BC，
∴CM=8-BC，
在Rt△BCM中，BC²=CM²+BM²，即BC²=（8-BC）²+4²，
解得，BC=5，即菱形的边长为5； 

（2）∵D是OB的中点，
∴点D的坐标为：（4，2），
∵点D在反比例函数y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=xy=4×2=8，y=$\frac{8}{x}$，
又∵OC=5，
∴C（5，0），
∴可求直线BC为y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{20}{3}$，
令$\frac{4}{3}$x-$\frac{20}{3}$=$\frac{8}{x}$，解得x₁=6，x₂=-1（舍去），
当x=6时，y=$\frac{8}{6}$=$\frac{4}{3}$，
∴点E的坐标为（6，$\frac{4}{3}$）．

点评 本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，菱形的性质，勾股定理等知识点，能根求出两函数的解析式和得出关于OC的方程是解此题的关键．