Question

4．如图，已知直线l：y=ax+b与反比例函数y=-$\frac{4}{x}$的图象交于A（-4，1）、B（m，-4），且直线l与y轴交于点C．
（1）求直线l的解析式；
（2）若不等式ax+b＞-$\frac{4}{x}$成立，则x的取值范围是x＜-4或0＜x＜1；
（3）若直线x=n（n＜0）与y轴平行，且与双曲线交于点D，与直线l交于点H，连接OD、OH、OA，当△ODH的面积是△OAC面积的一半时，求n的值．

Answer 1

分析 （1）利用反比例函数图象上点的坐标特征求得m的值；然后将点A、B的坐标分别代入一次函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；
（2）结合图象写出答案；
（3）需要分类讨论：当-4＜n＜0时和n＜-4时两种情况下的三角形的面积的计算．

解答 解：（1）∵$y=-\frac{4}{x}，B（m，-4）$，
∴m=1，
∴B（1，-4）．
∵y=ax+b过A（-4，1），B（1，-4），
∴$\left\{\begin{array}{l}-4a+b=1\\ a+b=-4\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=-3\end{array}\right.$，
∴直线解析式为y=-x-3；

（2）由函数图象可知，不等式ax+b＞-$\frac{4}{x}$成立，则x的取值范围是x＜-4或0＜x＜1．
故答案是：x＜-4或0＜x＜1；

（3）∵直线与y轴交点为（0，-3），
∴${S_{△OAC}}=\frac{1}{2}×3×4=6$
由直线x=n可知$D（{n，-\frac{4}{n}}），H（n，-n-3）$
当-4＜n＜0时，$DH=-\frac{4}{n}-（-n-3）=-\frac{4}{n}+n+3$，
∵${S_{△ODH}}=\frac{1}{2}{S_{△OAC}}=\frac{1}{2}×6=3$，
∴$\frac{1}{2}DH•（-n）=3$$即\frac{1}{2}（-\frac{4}{n}+n+3）•（-n）=3$，
整理得n²+3n+2=0，
解得：n₁=-1，n₂=-2；
当n＜-4时，$DH=（-n-3）-（-\frac{4}{n}）=-n-3+\frac{4}{n}$，
∵${S_{△ODH}}=\frac{1}{2}{S_{△OAC}}=\frac{1}{2}×6=3$，
∴$\frac{1}{2}DH•（-n）=3$$即\frac{1}{2}（-n-3+\frac{4}{n}）•（-n）=3$，
整理得n²+3n-10=0，
解得：n₁=-5，n₂=2（不合题意，舍去）．
综上可知n的值为-1，-2，-5．

点评 本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，解题时，采用了分类讨论和数形结合的数学思想，难度较大．