Question

【题目】已知：如图，在菱形ABCD 中，点E，O，F分别是边AB，AC，AD的中点，连接CE、CF、OE、OF．

（1）求证：△BCE≌△DCF；

（2）当AB与BC满足什么条件时，四边形AEOF正方形？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）AB⊥BC时，四边形AEOF正方形．

【解析】

（1）根据中点的定义及菱形的性质可得BE=DF，∠B=∠D，BC=CD，利用SAS即可证明△BCE≌△DCF；

（2）由中点的定义可得OE为△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质可得OE//BC，根据正方形的性质可得∠AEO=90°，根据平行线的性质可得∠ABC=∠AEO=90°，即可得AB⊥BC，可得答案．

（1）∵四边形ABCD是菱形，点E，O，F分别是边AB，AC，AD的中点，

∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D，

∵点E、F分别是边AB、AD的中点，

∴BE=AB，DF=AD，

∴BE=DF，

在△BCE和△DCF中，，

∴△BCE≌△DCF．

（2）AB⊥BC，理由如下：

∵四边形AEOF是正方形，

∴∠AEO=90°，

∵点E、O分别是边AB、AC的中点，

∴OE为△ABC的中位线，

∴OE//BC，

∴∠B=∠AEO=90°，

∴AB⊥BC．