Question

10．阅读下面的材料：我们把三角形的一条内角平分线与其不相邻的两个外角的平分线的交点叫做三角形的旁心，如图，△ABC中，AD是三角形的内角平分线，BE和CF是三角形的两条外角平分线，它们相交于同一点P，P即为△ABC的一个旁心，显然，每个三角形都有三个旁心．
请根据上述材料解答下面的问题．
（1）下面对于旁心的结论是否正确，请作出判断，对的打“√”，错的打“×”；
①三角形的旁心一定在三角形的外部．√
②三角形的旁心到三角形三边的距离相等．√
（2）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P为△ABC的旁心且在AC的右侧，求P到AB的距离．
（3）如图，P为△ABC的旁心且在BC下方，过P作AP的垂线交AB、AC的延长线于点D，点E．
①若∠BAC=40°，直接写出∠BPC的度数；
②若AP=4，sin∠BAC=$\frac{4}{5}$，求BD•CE的值．

Answer 1

分析 （1）根据旁心的定义，旁心必定在三角形的外部；由角平分线的性质可知旁心到三角形的三边距离相等；
（2）由于点P在AC的右侧，故点P必定是∠B的角平分线与∠C、∠A的外角平分线的交点，
（3）①根据三角形的外角和与内角和即可求出∠BPC的度数；
②过E作EH⊥AD于点H，由于AP⊥DE，AP平分∠DAE，易知AD=AE，设AD=5x，易证∠HED=∠DAP，从而可求出DE的长度，易证△DBP∽△EPC，所以BD•CE=DP•EP，

解答 23．（1）由定义可知：①√；由角平分线的性质可知：②√；
（2）∵P为△ABC的旁心且在AC的右侧，如图所示，
过点P作PE⊥BC于点E，作PF⊥AB于点F，作PD⊥AC于点D，
连接PC、PA，
∴设PF=x，
由角平分线的性质可知：PF=PD=PE=x，
∵CP平分线∠ECD，
∴∠ECP=45°，
∴CE=PE=CD=x，
∴AD=AC-CD=3-x，BE=BC+CE=4+x，
∴由角平分线的性质可知：AF=AD=3-x，
∵AC=3，BC=4，
∴由勾股定理可知：AB=5，
∴BF=AB+AF=8-x，
∴由角平分线的性质可知：BE=BF，
∴4+x=8-x，
∴x=2，
∴P到AB的距离为2；
（3）①∵∠BAC=40°，
∴∠BAC的外角为140°，
∴由三角形的外角和可知：∠DBC+∠ECB=360°-140°=220°，
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠DBC+∠ECB）=110°
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=70°；
②过E作EH⊥AD于点H，
∵AP⊥DE，AP平分∠DAE，
∴△ADE是等腰三角形，
∴AD=AE，
设AD=AE=5k，
∵sin∠BAC=$\frac{4}{5}$，
∴HE=4x，
∴由勾股定理可知：AH=3x，
∴DH=2x，
∵∠D+∠HED=∠D+∠DAP=90°，
∴∠HED=∠DAP，
∴tan∠DAP=tan∠HED=$\frac{DH}{HE}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{DP}{AP}$=$\frac{1}{2}$，
∴DP=2，
∴由等腰三角形的性质可知：DP=PE，
∵设∠BAP=γ，∠DBP=α，∠ECP=β，
∴由①可知：2α+2β=360°-（180°-2γ），
化简可知：α+β=90°-γ，
∵∠D=90°-γ，
∴∠BPD=180°-（90°-γ）-α=β=∠PCE，
∵∠D=∠CEP，
∴△DBP∽△EPC，
∴BD•CE=DP•EP=4

点评 本题考查相似三角形的综合问题，涉及角平分线的性质，三角形内角和与外角和定理，勾股定理，锐角三角函数，等腰三角形的性质等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．