Question

已知关于x的方程x²-（k+2）x+2k=0，若一个等腰三角形的一边长为1，另两边长恰是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长与面积．

Answer 1

分析：首先根据题意利用因式分解法求得x²-（k+2）x+2k=0的解，又由一个等腰三角形的一边长为1，利用分类讨论思想，根据三角形的三边关系，即可求得k的值，继而求得这个等腰三角形的周长与面积．

解答：解：∵x²-（k+2）x+2k=0，
∴（x-k）（x-2）=0，
解得：x₁=2，x₂=k，
∵三角形是等腰三角形，
当k=1时，不能围成三角形；
当k=2时，周长为5；
如图：设AB=AC=2，BC=1，
过点A作AD⊥BC于D，
∴BD=CD=

1

2

BC=

1

2

，
∴AD=

AB2-BD2

=

15

2

，
∴S_△ABC=

1

2

×1×

15

2

=

15

4

．
故面积为

15

4

．

点评：此题考查了因式分解法解一元二次方程、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用．