Question

已知：如图，A是⊙O₁、⊙O₂的一个交点，点M是O₁O₂的中点，过点A的直线BC垂直于MA，分别交⊙O₁、⊙O₂于B、C．
（1）求证：AB=AC；
（2）若O₁A切⊙O₂于点A，弦AB、AC的弦心距分别为d_l、d₂，求证：d₁+d₂=O₁O₂；
（3）在（2）条件下，若d₁d₂=1，设⊙O₁、⊙O₂的半径分别为R、r，求证：R²+r²=

(R2+r2)2

R2r2

．

Answer 1

分析：（1）作O₁D⊥AB于点D，O₂E⊥AC于点E，分别运用垂径定理得到BD=AD，AE=CE，易得AB=AC；
（2）利用梯形中位线定理，即可O₁D+O₂E=2AM，d₁+d₂=O₁O₂；
（3）根据相似三角形的性质，表示出d₁=

R

r

，d₂=

r

R

；再结合（2）的结论，进行证明．

解答：证明：（1）分别作O₁D⊥AB于点D，O₂E⊥AC于点E．
则AB=2AD，AC=2AE．
∵O₁D∥AM∥O₂E，
∵M为O₁O₂的中点，
∴AD=AE，AB=AC．

（2）∵O₁A切⊙O₂于点A，
∴O₁A⊥O₂A，
又∵M为O₁O₂的中点，O₁O₂=2AM
在梯形O₁O₂ED中，
∵AM为梯形的中位线，O₁D+O₂E=2AM，
∴O₁D+O₂E=O₁O₂，
即d₁+d₂=O₁O₂．

（3）∵O₁A⊥O₂A，
∴∠AO₁D=∠O₂AE，
∴Rt△O₁AD∽Rt△AO₂E．
∴

AD

O2E

=

O1D

AE

=

O1A

O2A

，
即

AD

d2

=

d1

AE

=

R

r

．
∴AD•AE=d₁•d₂=1．
即由（1）（2）知，AD=AE=1，O₁O₂=d₁+d₂，
∴d₁=

R

r

，d₂=

r

R

，
∴R²+r²=O₁O₂²=（d₁+d₂）²=（

R

r

+

r

R

）²=

(R2+r2)2

R2r2

．

点评：解答此题要注意利用相交两圆的特点，作出辅助线．构造直角三角形和梯形，利用其性质建立起各量之间的联系．