Question

2．在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ=∠ABC．
①若点P在线段CB上（如图），且BP=6，求线段CQ的长；
②若BP=x，CQ=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求线段CQ的长，根据已知条件AB=AC，∠APQ=∠ABC知道，可以先证明△QCP∽△PBA，由比例关系式得出；
（2）要求y与x之间的函数关系式，以及函数的定义域，需要分两种情况进行讨论：BP在线段CB上，或在CB的延长线上，根据实际情况证明△QCP∽△ABP，根据相似三角形的性质求出比例式，进而得出y与x之间的函数关系式．

解答 解：（1）∵∠APQ+∠CPQ=∠B+∠BAP，∠APQ=∠ABC，
∴∠BAP=∠CQP，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△CPQ∽△BAP，
∴$\frac{CQ}{BP}$=$\frac{CP}{AB}$，
∵AB=AC=5，BC=8，BP=6，CP=8-6=2，
∴$\frac{CQ}{6}$=$\frac{2}{5}$，
∴CQ=$\frac{12}{5}$；

（2）分两种情况：
若点P在线段CB上，由（1）知$\frac{CQ}{BP}$=$\frac{CP}{AB}$，
∵BP=x，BC=8，
∴CP=BC-BP=8-x，
又∵CQ=y，AB=5，
∴$\frac{y}{x}$=$\frac{8-x}{5}$，即y=-$\frac{1}{5}{x}^{2}+\frac{8}{5}x$．
故所求的函数关系式为y=-$\frac{1}{5}{x}^{2}+\frac{8}{5}x$（0＜x＜8）；

若点P在线段CB的延长线上，如图所示：

∵∠APQ=∠APB+∠CPQ，∠ABC=∠APB+∠PAB，∠APQ=∠ABC，
∴∠CPQ=∠PAB，
又∵∠ABP=180°-∠ABC，∠PCQ=180°-∠ACB，∠ABC=∠ACB，
∴∠ABP=∠PCQ，
∴△QCP∽△PBA，
∴$\frac{BP}{CQ}$=$\frac{AB}{PC}$，
∵BP=x，CP=BC+BP=8+x，AB=5，CQ=y，
∴$\frac{x}{y}$=$\frac{5}{8+x}$，即y=$\frac{1}{5}{x}^{2}+\frac{8}{5}x$（x≥8），
故所求的函数关系式为y=$\frac{1}{5}{x}^{2}+\frac{8}{5}x$（x≥8）．

点评 本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及二次函数的综合应用，根据相似三角形的对应边成比例，利用图形间的“和差“关系是解决问题的关键．解题时注意分类思想的运用．