【题目】如图1,矩形ABCD中,AB=8,AD=6;点E是对角线BD上一动点,连接CE,作EF⊥CE交AB边于点F,以CE和EF为邻边作矩形CEFG,作其对角线相交于点H.
(1)如图2,当点F与点B重合时,求CE和CG的长;
(2)如图3,当点E是BD中点时,求CE和CG的长;
(3)在图1,连接BG,当矩形CEFG随着点E的运动而变化时,猜想△EBG的形状?并加以证明.
【答案】(1)CE=,CG=,(2)CE=5,CG=;(3)结论:△EBG是直角三角形.理由见解析.
【解析】
(1)利用面积法求出CE,再利用勾股定理求出EF即可;
(2)利用直角三角形斜边中线定理求出CE,再利用相似三角形的性质求出EF即可;
(3)根据直角三角形的判定方法:如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半,则这个三角形是直角三角形即可判断.
解:(1)如图2中,
在Rt△BAD中,BD==10,
∵S△BCD= CDBC=BDCE,
∴CE=.CG=BE==,
(2)如图3中,过点E作MN⊥AM交AB于N,交CD于M.
∵DE=BE,
∴CE=BD=5,
∵△CME∽△ENF,
∴,
∴CG=EF=.
(3)结论:△EBG是直角三角形.
理由:如图1中,连接BH.
在Rt△BCF中,∵FH=CH,
∴BH=FH=CH,
∵四边形EFGC是矩形,
∴EH=HG=HF=HC,
∴BH=EH=HG,
∴△EBG是直角三角形.
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【题目】如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°,那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.
(1)若△ABC是“准互余三角形”,∠C>90°,∠A=60°,则∠B= °;
(2)如图①,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=5.若AD是∠BAC的平分线,不难证明△ABD是“准互余三角形”.试问在边BC上是否存在点E(异于点D),使得△ABE也是“准互余三角形”?若存在,请求出BE的长;若不存在,请说明理由.
(3)如图②,在四边形ABCD中,AB=7,CD=12,BD⊥CD,∠ABD=2∠BCD,且△ABC是“准互余三角形”,求对角线AC的长.
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【题目】如图,二次函数y=(x﹣3)2+m的图象与y轴交于点C,点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点,已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A(1,0)及点B.
(1)求二次函数与一次函数的解析式;
(2)抛物线上是否存在一点P,使S△ABP=S△ABC?若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,反比例函数y=(x>0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M,分别与AB、BC相交于点D、E.若四边形ODBE的面积为9,则k的值为( )
A. 3B. 6C. 9D. 4
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【题目】数学课上,李老师准备了四张背面看上去无差别的卡片A,B,C,D,每张卡片的正面标有字母a,b,c表示三条线段(如图),把四张卡片背面朝上放在桌面上,李老师从这四张卡片中随机抽取一张卡片后不放回,再随机抽取一张.
(1)用树状图或者列表表示所有可能出现的结果;
(2)求抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概率.
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【题目】阅读下面的材料:
解方程x4﹣7x2+12=0这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法通常是:设x2=y,则x4=y2,∴原方程可化为:y2﹣7y+12=0,解得y1=3,y2=4,当y=3时,x2=3,x=±,当y=4时,x2=4,x=±2.∴原方程有四个根是:x1=,x2=﹣,x3=2,x4=﹣2,以上方法叫换元法,达到了降次的目的,体现了数学的转化思想,运用上述方法解答下列问题.
(1)解方程:(x2+x)2﹣5(x2+x)+4=0;
(2)已知实数a,b满足(a2+b2)2﹣3(a2+b2)﹣10=0,试求a2+b2的值.
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【题目】动画片《小猪佩奇》分靡全球,受到孩子们的喜爱.现有4张《小猪佩奇》角色卡片,分别是A佩奇,B乔治,C佩奇妈妈,D佩奇爸爸(四张卡片除字母和内容外,其余完全相同).姐弟两人做游戏,他们将这四张卡片混在一起,背面朝上放好.
(1)姐姐从中随机抽取一张卡片,恰好抽到A佩奇的概率为 ;
(2)若两人分别随机抽取一张卡片(不放回),请用列表或画树状图的分方法求出恰好姐姐抽到A佩奇弟弟抽到B乔治的概率.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数y1=kx+b的图象分别交x轴,y轴于A、B两点,与反比例函数y2=的图象交于C、D两点,已知点C的坐标为(﹣4,﹣1),点D的横坐标为2.
(1)求反比例函数与一次函数的解析式;
(2)直接写出当x为何值时,y1>y2?
(3)点P是反比例函数在第一象限的图象上的点,且点P的横坐标大于2,过点P做x轴的垂线,垂足为点E,当△APE的面积为3时,求点P的坐标.
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