Question

【题目】如图1，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6；点E是对角线BD上一动点，连接CE，作EF⊥CE交AB边于点F，以CE和EF为邻边作矩形CEFG，作其对角线相交于点H．

（1）如图2，当点F与点B重合时，求CE和CG的长；

（2）如图3，当点E是BD中点时，求CE和CG的长；

（3）在图1，连接BG，当矩形CEFG随着点E的运动而变化时，猜想△EBG的形状？并加以证明．

Answer 1

【答案】（1）CE＝，CG＝，（2）CE＝5，CG＝；（3）结论：△EBG是直角三角形．理由见解析.

【解析】

（1）利用面积法求出CE，再利用勾股定理求出EF即可；
（2）利用直角三角形斜边中线定理求出CE，再利用相似三角形的性质求出EF即可；
（3）根据直角三角形的判定方法：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形即可判断．

解：（1）如图2中，

在Rt△BAD中，BD＝＝10，

∵S△BCD＝ CDBC＝BDCE，

∴CE＝．CG＝BE＝＝，

（2）如图3中，过点E作MN⊥AM交AB于N，交CD于M．

∵DE＝BE，

∴CE＝BD＝5，

∵△CME∽△ENF，

∴，

∴CG＝EF＝．

（3）结论：△EBG是直角三角形．

理由：如图1中，连接BH．

在Rt△BCF中，∵FH＝CH，

∴BH＝FH＝CH，

∵四边形EFGC是矩形，

∴EH＝HG＝HF＝HC，

∴BH＝EH＝HG，

∴△EBG是直角三角形．