Question

2．如图，⊙O′与x轴交于A，B两点，A（$\sqrt{3}+1$，0），O′（$\sqrt{3}$，1），过O点作⊙O′的切线，切点为C点，求BC的长．

Answer 1

分析 作O'D⊥x轴于点D，连接OO'，O'A，O'C，证明△AO'B是等腰直角三角形，△OO'C是等腰直角三角形，然后证明△BO'C是等边三角形即可求解．

解答 解：作O'D⊥x轴于点D，连接OO'，O'A，O'C．
则BD=AD=$\frac{1}{2}$AB．
∵O'（$\sqrt{3}$，1），A（$\sqrt{3}$+1，0），
∴O'D=1，OD=$\sqrt{3}$，OA=$\sqrt{3}$+1．
∴BD=AD=OA-OD=1=O'D，
∵∠AO'D=90°，AB=2，
∴△AO'B是等腰直角三角形，
∴∠AO'D=45°，
∴O'B=O'C=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\sqrt{2}$．
∵O'D=2O'D，OD=$\sqrt{3}$，
∴OO'=$\sqrt{{O}^{'}{D}^{2}+O{D}^{2}}$=2，
∴OO'=2O'D，
∴∠O'OD=30°，∠OO'D=60°．
∵OC是⊙O'的切线，
∴O'C⊥OC，
∵O'C=$\sqrt{2}$，OO'=2，
∴OC=$\sqrt{O'{C}^{2}-O'{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$=O'C．，
∴△OO'C是等腰直角三角形，
∴∠OO'C=45°，
∴∠AO'C=∠AO'D+OO'D+∠OO'C=150°，
∴∠BO'C=∠AO'C-∠AO'B=150°-90°=60°，
∴△BO'C是等边三角形．
∴BC=O'B=O'C=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了切线的性质以及垂径定理和等腰直角三角形的判定与性质，正确作出辅助线，证明△BO'C是等边三角形是关键．