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17.在平面直角坐标系中,已知点A(a,3),点P在坐标轴上,若使得△AOP是等腰三角形的点P恰有8个,则满足条件的a值有(  )
A.2个B.3个C.4个D.5个

分析 根据等腰三角形的性质,要使△AOP是等腰三角形,可以分两种情况考虑:当OA是底边时,作OA的垂直平分线,和坐标轴出现交点;当OA是腰时,则分别以点O、点A为圆心,OA为半径画弧,和坐标轴出现交点,而已知点A(a,3)在一、二象限,且使得△AOP是等腰三角形的点P恰有6个,所以这样的点使得△AOP是等边三角形,这样的点在第一象限有两个,在第二象限有两个.

解答 解:如图∵A(a,3),
∴点A在第一,二象限,
当点A在第一象限,△A1OP1,△A2OP2为等边三角形时,
使得△AOP是等腰三角形的点P恰有8个,
∵△A1P1O是等边三角形,
∴∠A1OP1=60°,
∴∠P2OA1=30°OB=3,
∴A1B=$\sqrt{3}$,∴$a=\sqrt{3}$,
∵△A2OP2是等边三角形,
∴∠P2OA2=60°,OP2=6,
∴A2B=3$\sqrt{3}$,∴a=3$\sqrt{3}$,
当点A在第二象限,存在符合条件的点与第一象限的点A关于y轴对称,
∴a=-$\sqrt{3}$,或a=-3$\sqrt{3}$,
∴满足条件的a的值有4个,
故选C.

点评 此题考查了等腰三角形的定义,运用数形结合的思想进行解决.

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