Question

如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连接CE．
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AB=10cm，DC=4cm，求AC的长；
（3）若E是弧AC的中点，⊙O的半径为5，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

考点：切线的判定,扇形面积的计算

专题：计算题

分析：（1）由AC平分∠DAB得∠1=∠2，加上∠1=∠3，则∠2=∠3，于是可判断OC∥AD，由于AD⊥CD，所以OC⊥CD，则可根据切线的判定定理得到CD为⊙O的切线；
（2）作OH⊥AD与H，如图，根据垂径定理得AH=HE，再证明四边形OCDH为矩形，得到OH=DC=4，HD=OC=5，在Rt△AOH中利用勾股定理计算出AH=3，则AD=AH+HD=8，然后在Rt△ADC中根据勾股定理可计算出AC的长；
（3）由E是弧AC的中点得到

AE

=

CE

，根据垂径定理得OE⊥AC，由于∠1=∠2，根据等腰三角形的判定得到AE=AO，即AO=EO=AE=5，所以△OAE为等边三角形，易得△OCE为等边三角形，所以CE=OC=5，∠OCE=60°，可计算出∠DCE=30°，于是可计算出DE=

1

2

CE=

5

2

，CD=

3

DE=

5 3

2

，由于S_弓形AE=S_弓形CE，然后利用S_阴影部分=S_△CDE进行计算．．

解答：解：（1）CD与⊙O相切．理由如下：
∵AC平分∠DAB，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD为⊙O的切线；
（2）作OH⊥AD与H，如图，则AH=HE，
∵OC⊥CD，HD⊥CD，OH⊥HD，
∴四边形OCDH为矩形，
∴OH=DC=4，HD=OC=5，
在Rt△AOH中，∵OA=5，OH=4，
∴AH=

OA2-OH2

=3，
∴AD=AH+HD=3+5=8，
在Rt△ADC中，∵CD=4，AD=8，
∴AC=

CD2+AD2

=4

5

（cm）；
（3）∵E是弧AC的中点，
∴

AE

=

CE

，
∴OE⊥AC，
∵∠1=∠2，
∴AE=AO，
∴AO=EO=AE=5，
∴△OAE为等边三角形，
同理可得△OCE为等边三角形，
∴CE=OC=5，∠OCE=60°，
∴∠DCE=30°，
∴DE=

1

2

CE=

5

2

，CD=

3

DE=

5 3

2

，
∵S_弓形AE=S_弓形CE，
∴S_阴影部分=S_△CDE=

1

2

×

5

2

×

5 3

2

=

5 3

8

（cm²）．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了扇形面积的计算．