【题目】如图,已知平面直角坐标系中,点C(3,4),以OC为边作菱形OABC,且点A落在x轴的正半轴上,点D为y轴上的一个动点,设D(0,m),连结DB,交直线OC于点E.
(1)填空:B的坐标为( ),sin∠AOC= ;
(2)当点D在y轴正半轴时,记△DEO的面积为S1,△BCE的面积为S2,当S1=S2时,求m的值.
(3)过点D,O,A作⊙M,交线段OC于点F.
①当⊙M与菱形OABC一边所在的直线相切时,求所有满足条件的m的值.
②当OD=DE时,直接写出OE:EF的值.
【答案】(1)(8,4),;(2)m=;(3)①满足条件的m的值为或;②OE:EF的值8:5.
【解析】
(1)如图1中,作CH⊥OA于H.根据点C的坐标求出OH,CH 利用勾股定理求出OC即可解决问题;
(2)如图1中,延长BC交OD于F.由S1=S2,推出S△OCF=S△BDF,由此构建方程即可解决问题;
(3)①分两种情形:如图2中,当⊙M与BC相切时,根据PQ=DM,构建方程即可解决问题.如图3中,当⊙M与AB相切时,AD⊥AB,设AD交OC于Q.根据tam∠OAD=tan∠DOC=,构建方程即可解决问题;
②如图4中,作BG⊥BC交OC的延长线于G,连接DF,AF,作FP⊥OA于P.首先求出BG,再证明BE=BG,根据DE+BE=BD,构建方程求出m,设OF=5k,则FP=4k,OP=3k,在Rt△APF中,根据AF2=PF2+PA2,构建方程求出k即可解决问题.
(1)如图1中,作CH⊥OA于H.
∵C(3,4),CH⊥OA,
∴OH=3,CH=4,
∴OC===5,
∵四边形ABCD是菱形,
∴OA=AB=OC=BC=5,BC∥OA,
∴B(8,4),
∴sin∠AOC==.
(2)如图1中,延长BC交OD于F.
∵S1=S2,
∴S△OCF=S△BDF,
∴×3×4=×(4﹣m)×8,
解得m=.
(3)①如图2中,延长BC交OD于P,作MQ⊥OD于Q.
当⊙M与BC相切时,PQ=DM.
则有4﹣=,
解得m=.
如图3中,当⊙M与AB相切时,AD⊥AB,设AD交OC于Q.
∵OC//AB,
∴OC⊥AD,
∴∠AQD=90°,
∴∠DOQ+∠AOQ=90°,∠AOQ+∠OAQ=90°,
∴∠DOQ=∠OAQ,
∴tam∠OAD=tan∠DOC=,
∴=,
∴=,
∴m=.
综上所述,满足条件的m的值为或.
②如图4中,作BG⊥BC交OC的延长线于G,连接DF,AF,作BH⊥OG于H,作FP⊥OA于P.
∵BC//OA,
∴tan∠GCB=tan∠COA==,
∴BG=,
∵OD//BG,
∴∠G=∠DOE,
∵DO=ED,
∴∠DOE=∠DEO=∠BEG,
∴∠G=∠BEG,
∴BE=BG=,
∵DE+BE=BD,
∴(m+)2=82+(4﹣m)2,
解得m=,
设OF=5k,则FP=4k,OP=3k,
∵∠ODF=∠DAF,
∴tan∠DAF==,
∴sin∠DAF=,
∵AD==,
∴AF=,
在Rt△APF中,∵AF2=PF2+PA2,
∴×(m2+25)=(4k)2+(5﹣3k)2,
把m=代入,整理得:45k2﹣54k+13=0,
解得k=(舍去)或,
∴OF=.
∵sin∠G=sin∠DAF=,
∴GH=,
∴EG=2GH=,
∵BG//OD,
∴△ODE∽△GBE,
∴,
∵OE=,
∴EF=OF﹣OE=,
∴==.
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【题目】如图,正六边形 ABCDEF的中心与坐标原点O重合,其中A(-2,0).将六边形 ABCDEF绕原点O按顺时针方向旋转2018次,每次旋转60°,则旋转后点A的对应点A'的坐标是( ).
A. (1,) B. (,1) C. (1,) D. (-1,)
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【题目】一道作图题如下:
已知:如图1,∠ABC及BC边上一点D.
求作:一点P,使点P到∠ABC两边的距离相等,且到B,D两点的距离相等.下面是一位同学的作图过程(图2):
(1)作∠ABC的平分线BE;
(2)作线段BD的垂直平分线l,与BE交于点P.
所以点P就是所求作的点.则该作图的依据是___________________________________.
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【题目】为了了解某市九年级学生的体育成绩(成绩均为整数),随机抽取了部分学生的体育成绩并分段(A:20.5~22.5;B:22.5~24.5;C:24.5~26.5;D:26.5~28.5;E:28.5~30.5)统计,得到统计图、表如图.
分数段 | A | B | C | D | E | 合计 |
频数/人 | 12 | 36 | 84 | b | 48 | c |
频率 | 0.05 | a | 0.35 | 0.25 | 0.20 | 1 |
根据上面的信息,回答下列问题:
(1)统计表中,a= ,b= ,c= ;将频数分布直方图补充完整.
(2)小明说:“这组数据的众数一定在C中.”你认为小明的说法正确吗? (选填“正确”或“错误”).
(3)若成绩在27分及以上定为优秀,则该市30000名九年级学生中体育成绩为优秀的学生人数约有多少?
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【题目】如图,矩形ABCD的顶点A,B,D分别落在双曲线y=(k>0)的两个分支上,AB边经过原点O,CB边与x轴交于点E,且EC=EB,若点A的横坐标为1,则矩形ABCD的面积_____.
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【题目】如图,抛物线 与 轴交于和,与 轴交于 点,点关于抛物线的对称轴的对称点为点.
(1)求此抛物线的解析式和对称轴.
(2)如图 2,当点在抛物线的对称轴上运动时,在直线上是否存在点,使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)如图 3,当点、、三点共圆时,请求出该圆圆心的坐标.
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【题目】某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元,销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元.
(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润;
(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台,其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍,设购进A型电脑x台,这100台电脑的销售总利润为y元.
①求y关于x的函数关系式;
②该商店购进A型、B型电脑各多少台,才能使销售总利润最大?
(3)实际进货时,厂家对A型电脑出厂价下调m(0<m<100)元,且限定商店最多购进A型电脑70台,若商店保持同种电脑的售价不变,请你根据以上信息及(2)中条件,设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案.
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【题目】如图,物理教师为同学们演示单摆运动,单摆左右摆动中,在的位置时俯角,在的位置时俯角,若,点比点高7.
求:(1)单摆的长度;
(2)从点摆动到点经过的路径长.(要求:本题中的计算结果均保留整数.参考值:;)
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