Question

16．如图，在直角坐标系中，圆A与x轴交于点B、C，与y轴相切于点D，抛物线y=$\frac{1}{4}{x^2}-\frac{5}{2}$x+4经过B、C、D三点．
（1）求圆心A的坐标；
（2）证明：直线y=-$\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}$与圆A相切于点B；
（3）在x轴下方的抛物线上，是否存在一点F，使△CDF的面积最大，若存在，求出点F的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据垂径定理，可得圆心在弦的垂直平分线上，根据切线的性质，可得圆心在过切点的直线上，可得答案；
（2）根据全等三角形的判定与性质，可得∠ABH=∠ADH，根据切线的判定，可得答案；
（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，三角形面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．

解答 解：（1）令$\frac{1}{4}{x^2}-\frac{5}{2}x+4=0$，即（x-2）（x-8）=0，解得x₁=2，x₂=8，
∴抛物线与x轴的交点坐标为B（2，0），C（8，0），与y轴交于点D（0，4），
∵BC的中点为（5，0），圆心A在BC的垂直平分线上，
∴点A的横坐标为5，
∵圆A与y轴相切于点D，连结AD，则AD平行于x轴，
∴点A的纵坐标为4，点A的坐标为（5，4）；                  
（2）证明：如图1，
，
直线$y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}$与y轴交于点H为（0，$\frac{3}{2}$），
与x轴的交点B（2，0）在圆上，
连结AB，AD，AH，
$BH=\sqrt{O{B^2}+O{H^2}}=\sqrt{{2^2}+{{（\frac{3}{2}）}^2}}=\frac{5}{2}$，
$DH=OD-OH=4-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$，
在△ABH和△ADH中，
$\left\{\begin{array}{l}{BH=DH}\\{AD=AB}\\{AH=AH}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△ADH（SSS），
∴∠ABH=∠ADH，
∵圆A与y轴相切于点D，∴∠ADH=90°，
∴∠ABH=∠ADH=90°，
直线$y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}$与圆A相切于点B； 
（3）存在点F使△CDF的面积最大． 
如图2，

连结CD，DF，CF，
设CD的解析式为y=kx+b，将C、D点坐标代入，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
故CD的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+4．
设点F的坐标为（t，$\frac{1}{4}{t^2}-\frac{5}{2}t+4$），设G点坐标为（t，-$\frac{1}{2}$t+4），（2＜t＜8），
FG=-$\frac{1}{2}$t+4-（$\frac{1}{4}{t^2}-\frac{5}{2}t+4$）=-$\frac{1}{4}$t²+2t，
S_△CDF=S_△DFG+S_△CFG=$\frac{1}{2}$FG•x_E+$\frac{1}{2}$FG•（x_c-x_E）=$\frac{1}{2}$FG•x_C=$\frac{1}{2}$×8×（-$\frac{1}{4}$t²+2t）
=-t²+8t=-（t-4）²+16，
当t=4时，$\frac{1}{4}{t^2}-\frac{5}{2}t+4$=-2
当t=4时，△DCF的面积最大，此时，点F的坐标为（4，-2）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用垂径定理、切线的性质是解题关键；利用全等三角形的判定与性质是解题关键；利用面积的和差得出二次函数是解题关键．