Question

4．如图1，直线y=-3x+3与x，y轴分别交于点A，B．抛物线y=a（x-2）²+n经过点A，B．顶点为P，并与x轴交于另一点C．
（1）求抛物线的表达式：
（2）如图2，点Q在抛物线上，过点Q作QE∥y轴交BC于点E，当QE恰好把△BPC的面积分成1：2的两部分时，求此时点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）先求出A、B两点坐标，代入抛物线解析式，解方程组即可．
（2）①当点Q与P重合时，E（2，1），此时S_△EPC=1，满足条件，此时点Q（2，-1）．
②设EQ交PB于F，Q（x，x²-4x+3），则E（x，-x+3），F（x，-2x+3），
列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）∵直线y=-3x+3与x，y轴分别交于点A，B，
∴A（1，0），B（0，3），
把A、B两点坐标代入抛物线解析式得到$\left\{\begin{array}{l}{4a+n=3}\\{a+n=0}\end{array}\right.$，交点$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{n=-1}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=（x-2）²-1，即y=x²-4x+3．

（2）对于抛物线令y=0，则有x²-4x+3=0，解得x=1或3，
∴C（3，0），∵B（0，3），
∴直线BC的解析式为y=-x+3，直线BP的解析式为y=-2x+3，
∵BP²=4+16=20，PC²=1+1=2，BC²=9+9=18，
∴BC²+PC²=BP²，
∴△BCP是直角三角形，
S_△BCP=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$3\sqrt{2}$=3，
过点P作PN∥y轴交BC于点N，易知N（2，1）．
∴S_△PNC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=1，
∴当点Q与P重合时，满足条件，此时Q（2，-1），
∴设QE与BP有交点，交点为F，Q（x，x²-4x+3），则E（x，-x+3），F（x，-2x+3），
∵S_△BEF=$\frac{1}{2}$x²=$\frac{1}{3}$×3=1，
解得，x=$\sqrt{2}$或-$\sqrt{2}$（舍弃），
此时Q（$\sqrt{2}$，5-4$\sqrt{2}$），
综上所述，当点Q坐标为（2，-1）或（$\sqrt{2}$，5-4$\sqrt{2}$）时，QE恰好把△BPC的面积分成1：2的两部分．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点、一次函数、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考常考题型．