Question

在△ABC中，∠A=90°，AB=8，BC=10，点M、N分别在AB、AC上．
（1）若M、N分别在AB、AC的中点，求MN的长；
（2）若MN∥BC，以MN为直径的⊙O与直线BC相切，求⊙O的半径（精确到0.1）．

Answer 1

解：（1）∵M、N分别在AB、AC的中点，
∴MN=BC=5；

（2）设MN=2R，作AF⊥BC，交MN于点E，则AE⊥MN，
在R t△ABC中，由勾股定理得，AC=6，
由直角三角形的面积公式可得AF=4.8；
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，得：MN：BC=AE：AF，
∴2R：10=AE：AH，
∴AE=0.96R；
∵⊙O与直线BC相切，
∴4.8-0.96R=R，
解得R≈2.4．
分析：（1）M、N分别为AB、AC的中点，即MN是△ABC的中位线，由此可求出MN的长；
（2）作AF⊥BC，交MN于点E，则AE⊥MN，易求得Rt△ABC斜边BC的长，那么可根据直角三角形面积的不同表示方法求出AF的长，由于以MN为直径的圆与BC相切，可用⊙O的半径分别表示出MN、AE的长，然后根据△AMN∽△ABC，将R的值求出．
点评：本题主要考查的是三角形中位线定理、勾股定理、切线的性质以及相似三角形的判定和性质．