A. | 2$\sqrt{2}$π | B. | ($\sqrt{2}$+1)π | C. | ($\sqrt{2}$+2)π | D. | ($\frac{2}{3}$$\sqrt{2}$+1)π |
分析 作辅助线,首先求出∠D′AB的大小,进而求出旋转的角度,利用弧长公式问题即可解决.
解答 解:如图,分别连接OA、OB、OD′、OC、OC′;
∵OA=OB=AB,
∴△OAB是等边三角形,
∴∠OAB=60°;
同理可证:∠OAD′=60°,
∴∠D′AB=120°;
∵∠D′AB′=90°,
∴∠BAB′=120°-90°=30°,
由旋转变换的性质可知∠C′AC=∠B′AB=30°;
∵四边形ABCD为正方形,且边长为2,
∴∠ABC=90°,AC=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$,
∴当点D第一次落在圆上时,点C运动的路线长为:$\frac{30π×2\sqrt{2}}{180}$=$\frac{\sqrt{2}π}{3}$.
以D或B为圆心滚动时,每次C点运动$\frac{π}{3}$,
以A做圆心滚动两次,以B和D做圆心滚动三次,所以总路径=$\frac{\sqrt{2}π}{3}$×2+$\frac{π}{3}$×3=($\frac{2}{3}$$\sqrt{2}$+1)π.
故选:D.
点评 本题考查了正方形的性质、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的运用以及弧长公式的运用,题目的综合性较强,解题的关键是正确的求出旋转角的度数.
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A. | 仅有①② | B. | 仅有②③ | C. | 仅有①③ | D. | ①②③ |
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A. | 0个 | B. | 1个 | C. | 2个 | D. | 3个 |
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