Question

【题目】（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC边上的任意一点（不含端点B，C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，并连结CN．求证：AB＝CN+CM．

（2）（类比探究）如图2，在等边△ABC中，若点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，则AB＝CN+CM是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出AB，CN，CM三者之间的数量关系，并给予证明．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）不成立，AB＝CN﹣CM，见解析

【解析】

（1）根据等边三角形的性质得到AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，AM＝MN＝AN，∠MAN＝∠AMN＝∠ANM＝60°，证明△BAM≌△CAN，根据全等三角形的性质、结合图形证明结论；

（2）仿照（1）的证明过程解答即可．

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，

∵△AMN是等边三角形，

∴AM＝MN＝AN，∠MAN＝∠AMN＝∠ANM＝60°，

∴∠BAC﹣∠MAC＝∠MAN﹣∠MAC，即∠BAM＝∠CAN，

在△BAM和△CAN中，，

∴△BAM≌△CAN（SAS）

∴BM＝CN，

∴AB＝BC＝BM+CM＝CN+CM；

（2）解：AB＝CN+CM不成立，AB＝CN﹣CM，

由（1）可知，∠BAC＝∠MAN

∴∠BAC+∠MAC＝∠MAN+∠MAC，即∠BAM＝∠CAN，

在△BAM和△CAN中，，

∴△BAM≌△CAN（SAS）

∴BM＝CN，

∴AB＝BC＝BM﹣CM＝CN﹣CM．