分析 (1)根据对等四边形的定义画出图形即可;
(2)根据圆周角定理得到∠ADB=90°,∠ACD=90°,根据直角三角形全等的判定定理证明Rt△ADB≌Rt△BCA,根据全等三角形的性质证明即可;
(3)分OC=AB、AC=OB两种情况,根据平行线分线段成比例定理计算即可.
解答 解:(1)如图1:四边形ABCD为对等四边形;
(2)证明:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,∠ACD=90°,
在Rt△ADB和Rt△BCA中,
$\left\{\begin{array}{l}{BD=AC}\\{BA=AB}\end{array}\right.$,
∴Rt△ADB≌Rt△BCA,
∴AD=BC,
∴四边形ABCD是对等四边形;
(3)∵D(8,0),B(0,6),
∴OD=8,OB=6,∴BD=$\sqrt{O{B}^{2}+O{D}^{2}}$=10,
∵AB=2,∴AD=8,
如图3,当OC=AB时,C点坐标为(2,0),
如图4,当AC=OB时,AC=6,
作AE⊥OD于E,
则AE∥OB,
∴$\frac{AE}{OB}$=$\frac{DE}{DO}$=$\frac{DA}{DB}$,即$\frac{AE}{6}$=$\frac{DE}{8}$=$\frac{8}{10}$,
解得AE=$\frac{24}{5}$,DE=$\frac{32}{5}$,
∴EC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{E}^{2}}$=$\frac{18}{5}$,
OE=OD-DE=$\frac{8}{5}$,
则OC=OE+EC=$\frac{26}{5}$,
∴C点坐标为($\frac{26}{5}$,0),
∴四边形ABOC为对等四边形时,C点坐标为:(2,0)或($\frac{26}{5}$,0).
点评 本题考查的是圆周角定理、勾股定理的应用以及平行线分线段成比例定理,正确理解对等四边形的定义、正确运用相关的定理和性质是解题的关键.
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A. | $\left\{{\begin{array}{l}{8x-3=y}\\{7x+4=y}\end{array}}\right.$ | B. | $\left\{{\begin{array}{l}{8x+3=y}\\{7x-4=y}\end{array}}\right.$ | C. | $\left\{{\begin{array}{l}{y-8x=3}\\{y-7x=4}\end{array}}\right.$ | D. | $\left\{{\begin{array}{l}{8x-y=3}\\{7x-y=4}\end{array}}\right.$ |
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