Question

如图，抛物线y=ax²-8ax+12a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点C在第一象限，满足∠ACB为直角，且恰使△OCA∽△OBC．
（1）求线段OC的长；
（2）求该抛物线的函数关系式；
（3）在x轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）令抛物线中y=0，可得出A、B的坐标，即可确定OA，OB的长．根据△OCA∽△OBC，可得出关于OC、OA、OB的比例关系式即可求出OC的长．
（2）C是BP中点，因此C的横坐标是B点横坐标的一半，在（1）中已经求得了OC的长，因此不难得出C点的坐标．将C点坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式．
（3）应该有四个符合条件的点：
①以C为圆心，BC为半径作弧，交x轴于一点，这点符合P点要求，此时CP=BC，已知了B、C的坐标，即可求出P点坐标．
②以B为圆心，BC为半径作弧，交x轴于两点，这两点也符合P点要求，此时BC=BP，根据B、C的坐标，不难得出BC的长，将B点坐标向左或向右平移BC个单位即可得出P点坐标．
③作BC的垂直平分线，与x轴的交点也符合P点要求，此时CP=BP，可设出P点坐标，用坐标系两点间距离公式表示出BP和CP的长，即可求出P点坐标．
因此共有4个符合条件的P点．

解答：解：（1）由ax²-8ax+12a=0（a＜0）
得x₁=2，x₂=6．
即：OA=2，OB=6．
∵△OCA∽△OBC，
∴OC²=OA•OB=2×6．
∴OC=2

3

（-2

3

舍去）．
∴线段OC的长为2

3

．

（2）∵△OCA∽△OBC
∴

AC

BC

=

OA

OC

=

2

2 3

=

1

3

设AC=k，则BC=

3

k
由AC²+BC²=AB²得
k²+（

3

k）²=（6-2）²
解得k=2（-2舍去）
∴AC=2，BC=2

3

=OC
过点C作CD⊥AB于点D
∴OD=

1

2

OB=3
∴CD=

OC2-OD2

=

3

∴C的坐标为（3，

3

）
将C点的坐标代入抛物线的解析式得

3

=a（3-2）（3-6）
∴a=-

3

3

∴抛物线的函数关系式为：
y=-

3

3

x²+

8 3

3

x-4

3

．

（3）①当P₁与O重合时，△BCP₁为等腰三角形
∴P₁的坐标为（0，0）；
②当P₂B=BC时（P₂在B点的左侧），△BCP₂为等腰三角形
∴P₂的坐标为（6-2

3

，0）；
③当P₃为AB的中点时，P₃B=P₃C，△BCP₃为等腰三角形
∴P₃的坐标为（4，0）；
④当BP₄=BC时（P₄在B点的右侧），△BCP₄为等腰三角形
∴P₄的坐标为（6+2

3

，0）；
∴在x轴上存在点P，使△BCP为等腰三角形，符合条件的点P的坐标为：
（0，0），（6-2

3

，0），（4，0），（6+2

3

，0）．

点评：命题立意：考查数形结合问题，由抛物线求二次函数的解析式，用几何中相似三角形的性质求点的坐标等知识．