Question

2．已知关于x的方程x²-（m-2）x-$\frac{m^2}{4}$=0．
（1）求证：无论m为何值，方程总有两个不相等实数根．
（2）设方程的两实数根为x₁，x₂，且满足|x₁|=|x₂|+2，求m的值和相应的x₁，x₂．

Answer 1

分析 （1）根据根的判别式求出△的值，再进行判断即可；
（2）由x₁•x₂=-$\frac{m^2}{4}$＜0，得到x₁，x₂异号，设x₂＜0，根据根与系数的关系得到m=4，然后解方程x²-2x-4=0．即可得到结果．

解答 解：（1）∵△=[-（m-2）]²-4（-$\frac{{m}^{2}}{4}$）=2m²-4m+4=2（m-1）²+2＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；

（2）∵x₁•x₂=-$\frac{m^2}{4}$≤0，
当x₁，x₂异号，设x₂＜0，
∵|x₁|=|x₂|+2，
∴x₁+x₂=2，
∴m-2=2，
解得：m=4，
∴原方程可化为x²-2x-4=0．
解得：x₁=1+$\sqrt{5}$，x₂=1-$\sqrt{5}$．
当x₁•x₂=0，
∴m=0，
∴原方程可化为x²+2x=0．
∴x₁=-2，x₂=0．

点评 该题主要考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、求解或证明．