Question

已知二次函数y=ax²+bx+c．
（1）若a=2，c=-3，且二次函数的图象经过点（-1，-2），求b的值；
（2）若a=2，b+c=-2，b＞c，且二次函数的图象经过点（p，-2），求证：b≥0；
（3）若a+b+c=0，a＞b＞c，且二次函数的图象经过点（q，-a），试问当自变量x=q+4时，二次函数y=ax²+bx+c所对应的函数值y是否大于0？请证明你的结论．

Answer 1

分析：①本题待定系数法求二次函数解析式，条件由具体到抽象，要根据题目的条件逐步求解；
②（2）（3）还需结合一元二次方程根的判别式，根与系数的关系等知识解题．

解答：解：（1）当a=2，c=-3时，二次函数为y=2x²+bx-3，
因为该函数的图象经过点（-1，-2），
所以-2=2×（-1）²+b×（-1）-3，解得b=1；

（2）当a=2，b+c=-2时，二次函数为y=2x²+bx-b-2，
因为该函数的图象经过点（p，-2），
所以-2=2p²+bp-b-2，即2p²+bp-b=0，
于是，p为方程2x²+bx-b=0的根，
所以△=b²+8b=b（b+8）≥0．
又因为b+c=-2，b＞c，
所以b＞-b-2，即b＞-1，有b+8＞0，所以b≥0；

（3）因为二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点（q，-a），
所以aq²+bq+c+a=0．所以q为方程aq²+bq+c+a=0的根，
于是，△=b²-4a（a+c）≥0，
又a+b+c=0，所以△=b（3a-c）≥0，
又a＞b＞c，知a＞0，c＜0，所以3a-c＞0，所以b≥0，
所以q为方程aq²+bq+c+a=0的根，所以q=

-b- b2+4ab

2a

或q=

-b+ b2+4ab

2a

．
当x=q+4时，y=a（q+4）²+b（q+4）+c=（aq²+bq+c+a）+8aq+15a+4b=8aq+15a+4b，
若q=

-b- b2+4ab

2a

，则y=8a•

-b- b2+4ab

2a

+15a+4b=15a-4

b2+4ab

．
因为a＞b≥0，所以b²+4ab＜a²+4a•a=5a²，
即

b2+4ab

＜

5

a，-4

b2+4ab

＞-4

5

a，
∴y＞15a-4

5

a=（15-4

5

）a＞0；
若q=

-b+ b2+4ab

2a

，则y=8a•

-b+ b2+4ab

2a

+15a+4b=15a+4

b2+4ab

＞0．
所以当x=q+4时，二次函数y=ax²+bx+c所对应的函数值大于0．

点评：本题考查了用待定系数法求函数解析式的待定系数或者系数之间的关系，同时还考查了方程组的解法等知识，综合性强，难度大．