Question

学校计划用地砖铺设教学楼前的矩形广场ABCD，已知矩形广场的长为100米，宽为60米图案如图所示：广场四角为矩形，阴影部分为矩形，中心为正方形．阴影部分铺设绿色地砖，其余铺设白色地砖．
（1）要使铺设绿色地砖的面积为2750平方米，那么中心小正方形的边长为多少？
（2）若铺设绿色地砖的费用为30元每平方米．白色地砖的费用为20元每平方米．当中心小正方形的边长为多少时铺设整个广场的总费用最大，最大是多少？

Answer 1

解：（1）设中心小正方形的边长为xm，
∴（100-x）x+（60-x）x=2750，
x²-80x+1375=0，
解得：x₁=25，x₂=55，
答：中心小正方形的边长为25米或55米；

（2）设总费用为w，
根据题意得：
∴w=[（100-x）x+（60-x）x]×30+{6000-[（100-x）x+（60-x）x]}×20，
=-20x²+1600x+120000，
当x=40时，w_最大=-20x²-1600x+120000=152000元．
∴当中心小正方形的边长为40米时铺设整个广场的总费用最大，最大是152000元．
分析：（1）表示出小正方形的边长即可表示出阴影部分的面积，求出即可；
（2）假设出总费用，利用二次函数最值求法得出即可．
点评：此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，一元二次方程与二次函数的综合应用是中考中考查重点题型，同学们应熟练掌握特别是配方法求最值问题．